‹-- Назад

Частные производные высших порядков

Мы уже заметили, что частные производные первого порядка $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}$ мы можем рассматривать, в предположении их существования, как функции, заданные в некоторой области пространства $ n$ переменных $ x_1,\ \dots,\ x_n$ . От каждой из этих функций $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}$ , в свою очередь, можно найти частные производные: $ n$ производных от $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_1}}$ :

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x_1}(\frac{\partial f}{\partial x_1});\ ...
...1});\ %
\dots\ \frac{\partial}{\partial x_n}(\frac{\partial f}{\partial x_1}),$

$ n$ производных от $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_2}}$ :

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x_1}(\frac{\partial f}{\partial x_2});\ ...
...2});\ %
\dots\ \frac{\partial}{\partial x_n}(\frac{\partial f}{\partial x_2}),$

и так далее до $ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_n}}(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_n}})$ ; всего получается $ n^2$ производных $ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_i}}(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_j}}),$ где $ i,j=1,\dots,n$ . Производная $ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_i}}(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_j}})$ обозначается также $ \frac{\textstyle{\partial^2f}}{\textstyle{\partial x_i\partial x_j}}$ или $ f''_{x_ix_j}$ . Эти производные называются частными производными второго порядка от функции $ f$ .

Если $ i=j$ , то есть если второе дифференцирование ведётся по той же переменной $ x_i$ , что и первое, то частная производная второго порядка $ \frac{\textstyle{\partial^2f}}{\textstyle{\partial x_i\partial x_i}}$ называется чистой частной производной второго порядка по переменной $ x_i$ и более кратко обозначается $ \frac{\textstyle{\partial^2f}}{\textstyle{\partial x_i^2}}$ .

Если же $ i\ne j$ , то частная производная второго порядка $ \frac{\textstyle{\partial^2f}}{\textstyle{\partial x_i\partial x_j}}$ называется смешанной частной производной второго порядка.

Итак, для функции $ f$ можно отыскать $ n$ чистых частных производных второго порядка и $ n^2-n$ смешанных. Ниже мы увидим, что при некоторых дополнительных предположениях смешанные частные производные $ \frac{\textstyle{\partial^2f}}{\textstyle{\partial x_i\partial x_j}}$ и $ \frac{\textstyle{\partial^2f}}{\textstyle{\partial x_j\partial x_i}}$ , отличающиеся порядком дифференцирований, совпадают, так что различных смешанных производных второго порядка оказывается не $ n^2-n$ , а вдвое меньше.

        Пример 7.13   Пусть

$\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=x_1^3x_2^2x_3^4.$

Найдём частные производные второго порядка. Для этого сначала найдём производные первого порядка:

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}=3x_1^2x_2^2x_3^4;
\frac{\partial...
...partial x_2}=2x_1^3x_2x_3^4;
\frac{\partial f}{\partial x_3}=4x_1^3x_2^2x_3^3.$

Затем находим производные от $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_1}}$ :

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_1^2}=\frac{\partial}{\partial x_1}(\frac{\p...
...=\frac{\partial}{\partial x_2}(\frac{\partial f}{\partial x_1})=6x_1^2x_2x_3^4;$    
$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_3\pat x_1}=\frac{\partial}{\partial x_3}(\frac{\partial f}{\partial x_1})=12x_1^2x_2^2x_3^3,$    

производные от $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_2}}$ :

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_1\pat x_2}=\frac{\partial}{\partial x_1}(\f...
...\frac{\partial}{\partial x_3}(\frac{\partial f}{\partial x_2})=8x_1^3x_2x_3^3
$

и производные от $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_3}}$ :

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_1\pat
 x_3}=\frac{\partial}{\partial x_1}(\...
...=\frac{\partial}{\partial x_2}(\frac{\partial f}{\partial x_3})=8x_1^3x_2x_3^3;$    
$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_3^2}=\frac{\partial}{\partial x_3}(\frac{\partial f}{\partial x_3})=12x_1^3x_2^2x_3^2.$    

    

От любой из частных производных второго порядка можно рассматривать, в свою очередь, частные производные:

$\displaystyle \frac{\partial^3f}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}=
\frac{\partial}{\partial x_i}(\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_k}).$

Эти производные (их $ n^3$ штук) называются частными производными третьего порядка; от них можно найти частные производные четвёртого порядка

$\displaystyle \frac{\partial^4f}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k\partial x...
...artial}{\partial x_i}(\frac{\partial^3f}{\partial x_j\partial x_k\partial x_l})$

и т. д.

Если при вычислении частной производной высокого порядка некоторые дифференцирования проводятся по одной и той же переменной несколько раз подряд, то это отражается в обозначениях очевидным образом, например, $ \frac{\textstyle{\pat^5f}}{\textstyle{\pat x_1^3\pat x_2^2}}$ означает то же самое, что $ \frac{\textstyle{\pat^5f}}{\textstyle{\pat x_1\pat x_1\pat x_1\pat x_2\pat x_2}}.$

        Пример 7.14   Вычислим $ \frac{\textstyle{\pat^3f}}{\textstyle{\pat x_1^2\pat x_2}}$ для функции $ f$ из предыдущего примера.

Поскольку

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_1\pat x_2}=6x_1^2x_2x_3^4,
$

имеем

$\displaystyle \frac{\pat^3f}{\pat x_1^2\pat x_2}=
\frac{\partial}{\partial x_1}(\frac{\pat^2f}{\pat x_1\pat x_2})=12x_1x_2x_3^4.$