‹-- Назад

Частные производные

Пусть $ x^0$  -- внутренняя точка области $ {\Omega}$ , и в области $ {\Omega}$ задана функция $ f(x)$ . Рассмотрим ограничение функции $ f(x)$ на прямую $ l_i$ , проходящую через точку $ x^0$ параллельно оси $ Ox_i$ . Эта прямая задаётся условиями $ x_j=x^0_j$ при $ j\ne i$ ; переменная $ x_i$ может при этом произвольно меняться. Поэтому для рассматриваемого ограничения $ f\vert _{l_i}$ имеется естественная параметризация, смысл которой в том, что "замораживаются" все переменные, от которых зависит $ f$ , кроме $ x_i$ :

$\displaystyle f\vert _{l_i}(x)=g_i(x_i)=f(x_1^0;\dots;x_{i-1}^0;x_i;x_{i+1}^0;\dots;x^0_n).$

Получили функцию одного переменного $ g_i(x_i)$ , как параметризацию ограничения с помощью параметра $ x_i$ .

Рис.7.12.



Функция $ g_i(x_i)$ может иметь производную в точке $ x_i^0$ , равную некоторому числу $ g'_i(x^0_i)$ . Это число называют частной производной функции $ f$ по переменной $ x_i$ , вычисленной в точке $ x^0$ . Эта частная производная обозначается $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x^0)$ или $ f'_{x_i}(x^0)$ .

Сразу же заметим, что значения частных производных от функции $ f$ в точке $ x^0$ , вычисленные по разным переменным $ x_i$ и $ x_j$ , могут быть различными, так что обозначение типа $ f'(x)$ , без указания переменной, по которой вычислена частная производная, не имеет смысла: в обозначении обязательно нужно указывать переменную, по которой мы дифференцируем.

Итак, чтобы вычислить частную производную от функции $ f$ по некоторой переменной $ x_i$ , нужно фиксировать значения всех переменных, кроме $ x_i$ (то есть временно считать их постоянными), а затем по обычным правилам вычисления производных найти производную по этой единственной переменной $ x_i$ . Теперь ясно, что для вычисления частных производных никаких новых правил дифференцирования вдобавок к тем, что известны нам для функций одной переменной, не потребуется, ведь при вычислении частной производной мы считаем, что может изменяться только одна переменная.

Считая точку $ x=x^0$ , в которой вычисляется значение частной производной $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x^0)$ , переменной точкой области $ {\Omega}$ и предполагая, что во всех точках $ x=x^0$ эта производная существует, мы получаем, что частная производная $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x)$  -- это функция, заданная в области $ {\Omega}$ (или в её части, если производная существует не везде в $ {\Omega}$ ).

Поскольку частную производную функции $ f$ можно вычислять по каждой из $ n$ переменных $ x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n$ , то функция $ f$ имеет $ n$ частных производных

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}(x);\ \frac{\partial f}{\partial x_2}(x);\ \dots;\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(x).$

Эти частные производные, вообще говоря, -- различные функции. Их называют также частными производными первого порядка от функции $ f$ . Итак, функция $ n$ переменных имеет $ n$ частных производных первого порядка.

        Пример 7.11   Вычислим частные производные функции двух переменных

$\displaystyle f(x_1;x_2)=x_1^2+x_1x_2^3+3x_1-2x_2$

по каждой из переменных $ x_1$ и $ x_2$ .

Производную по $ x_1$ найдём, считая $ x_1$ переменной, а $ x_2$ постоянной величиной:

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1;x_2)=2x_1+x_2^3+3.$

При этом мы воспользовались тем, что производная суммы равна сумме производных, тем, что производная от $ x_1^2$ (по $ x_1$ ) равна $ 2x_1$ , тем, что производная от $ x_1x_2^3$ (по $ x_1$ , при постоянном значении $ x_2^3$ ) равна $ x_2^3$ , тем, что производная от $ 3x_1$ (по $ x_1$ ) равна 3, и, наконец, тем, что производная постоянного слагаемого $ -2x_2$ равняется 0.

Аналогично найдём производную по переменной $ x_2$ . При этом мы считаем, что $ x_1$  -- постоянная, а меняется только $ x_2$ , по которой мы и находим производную:

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1;x_2)=3x_1x_2^2-2.$

При этом слагаемые $ x_1^2$ и $ 3x_1$ постоянны, и их производная по $ x_2$ равна 0; в слагаемом $ x_1x_2^3$ множитель $ x_1$ постоянный, и его можно вынести за знак производной, а производная от $ x_2^3$ равна $ 3x_2^2$ ; наконец, производная от $ -2x_2$ равняется $ -2$ .     

В соответствии с изученным в первом семестре смыслом производной функции одного переменного (напомним, что производная $ g'(t_0)$ функции $ g(t)$ равна скорости изменения значений функции $ g(t)$ в точке $ t_0$ ), cмысл частной производной $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x^0)$  -- это скорость изменения значений функции $ f(x)$ при равномерном движении с единичной скоростью через точку $ x^0$ по прямой $ l_i$ , параллельной оси $ Ox_i$ .

Геометрический смысл частной производной также становится ясен, если рассмотреть ограничение $ g_i(x_i)$ функции $ f(x)$ , полученное при фиксации значений всех переменных, кроме $ x_i$ . Для наглядности ограничимся случаем функции двух переменных $ x_1$ и $ x_2$ . В этом случае мы можем изобразить график функции $ y=f(x_1;x_2)$ на чертеже в виде некоторой поверхности.

Рис.7.13.



Отметим на плоскости $ x_1Ox_2$ точку $ x^0=(x_1^0;x_2^0)$ , в которой вычисляется частная производная $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_1}}(x^0)$ , и рассмотрим сечение графика вертикальной плоскостью $ x_2=x_2^0$ ; она проходит на плоскости $ x_1Ox_2$ через прямую $ l_1$ , заданную тем же уравнением $ x_2=x_2^0$ . Тогда эта плоскость высекает в поверхности графика линию, служащую графиком функции $ g_1(x_1)=f\vert _{l_1}(x)$ . Функция $ g_1$  -- это функция одной переменной $ x_1$ , и её производная в точке $ x_1^0$ равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику в точке $ x_1^0$ . С другой стороны, $ g_1'(x_1^0)=\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_1}}(x^0)$ . Значит, частная производная $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_1}}(x^0)$ имеет геометрический смысл как тангенс угла наклона касательной к сечению графика $ y=f(x)$ вертикальной плоскостью $ x_2=x_2^0$ .

Точно так же, частная производная $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_2}}(x^0)$ имеет геометрический смысл как тангенс угла наклона касательной к сечению графика $ y=f(x)$ вертикальной плоскостью $ x_1=x_1^0$ . Заметим, что плоскости $ x_1=x_1^0$ и $ x_2=x_2^0$ взаимно перпендикулярны.

Если функция одного переменного имеет производную в некоторой точке, то эта функция обязательно непрерывна в этой точке; этот факт мы изучили в первом семестре. В случае нескольких переменных ( $ n\geqslant 2$ ) дело обстоит не так. Даже наличия в некоторой точке $ x^0$ частных производных функции $ f$ по всем переменным $ x_1,\ \dots,\ x_n$ не достаточно для того, чтобы функция была непрерывной в точке $ x^0$ . Приведём пример такой функции двух переменных, что частные производные её сушествуют, а функция, тем не менее, разрывна.

        Пример 7.12   Рассмотрим функцию, заданную при $ x=(x_1;x_2)\in\mathbb{R}^2$ :

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{\textstyle{2x_1x_2}}{\textst...
...x_1;x_2)\ne(0;0);\\
0,&\text{ если }x_1=0\text{ и }x_2=0.
\end{array}\right.$

Эта функция разрывна в точке $ (0;0)$ , поскольку в любой, как угодно малой окрестности начала координат имеются точки вида $ ({\varepsilon};{\varepsilon})$ , где $ {\varepsilon}\ne0$ , в которых значение функции равно

$\displaystyle f({\varepsilon};{\varepsilon})=\frac{2{\varepsilon}\cdot{\varepsilon}}{{\varepsilon}^2+{\varepsilon}^2}=1,$

а также точки вида $ ({\varepsilon};-{\varepsilon})$ , где $ {\varepsilon}\ne0$ , в которых значение функции равно

$\displaystyle f({\varepsilon};-{\varepsilon})=\frac{2{\varepsilon}\cdot(-{\varepsilon})}{{\varepsilon}^2+{\varepsilon}^2}=-1,$

а значение $ f(0;0)$ равно 0.

Однако ограничение функции $ f$ как на прямую $ x_2=0$ , так и на прямую $ x_1=0$ , проходящие через начало координат, тождественно равно 0:

$\displaystyle f\vert _{x_2=0}=f(x_1;0)=0;\
f\vert _{x_1=0}=f(0;x_2)=0,$

так что и производные от этих ограничений в точке 0 равны 0, то есть

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}(0;0)=0;\
\frac{\partial f}{\partial x_2}(0;0)=0.$

Итак, обе частные производные в начале координат существуют, но функция разрывна в начале координат.