‹-- Назад

Свойства функций, непрерывных в области

Назовём множество $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ ограниченным, если оно целиком содержится в шаре достаточно большого радиуса, то есть если найдётся такое число $ R$ , что

$\displaystyle {\Omega}\sbs B_R^0.$

        Теорема 7.6 (об ограниченности и существовании экстремумов)   Если функция $ f$ непрерывна в замкнутой и ограниченной области $ {\Omega}$ , то:

1) функция $ f$ ограничена на $ {\Omega}$ , то есть существует такая постоянная $ M$ , что $ \vert f(x)\vert\leqslant M$ при всех $ x\in{\Omega}$ ;

2) функция $ f$ принимает в области $ {\Omega}$ наибольшее и наименьшее значения, то есть существуют такие точки $ x^1\in{\Omega}$ и $ x^2\in{\Omega}$ , что при всех $ x\in{\Omega}$ выполняются неравенства $ f(x)\geqslant f(x^1)$ и $ f(x)\leqslant f(x^2)$ .

(В этом случае точка $ x_1$ называется точкой минимума, а точка $ x^2$  -- точкой максимума функции $ f$ в области $ {\Omega}$ .)     

Свойства 1) и 2) аналогичны свойствам функции одного переменного, непрерывной на замкнутом отрезке $ [a;b]$ . Доказательство теоремы заинтересованный читатель сможет найти, например, в книге
Никольский С. М. Курс математического анализа, т. 1. -- M.: Наука, 1991. -- С. 285-286.

        Замечание 7.1   Если область, в которой функция непрерывна, не является замкнутой или не является ограниченной, то утверждения теоремы могут быть и не верны, как показывают следующие примеры:

Функция $ f(x_1;x_2)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x_1^2+x^2_2-1}}$ непрерывна, но не ограничена в ограниченном, но незамкнутом круге $ {\Omega}=\{x_1^2+x_2^2<1\}$ . Докажите неограниченность, рассмотрев ограничение функции $ f$ на диаметр круга, заданный условием $ x_2=0$ .

Функция $ f(x_1;x_2)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x_1^2+x^2_2+1}}$ непрерывна на всей плоскости $ x_1Ox_2$ . Заметим, что плоскость не является ограниченным множеством. Эта функция ограничена, так как

$\displaystyle 0<f(x_1;x_2)\leqslant 1$

при всех $ x_1$ и $ x_2$ , принимает максимальное значение 1 в точке $ (0;0)$ , но не имеет минимального значения:

$\displaystyle \inf_{x\in\mathbb{R}^2}f(x)=0,$

то есть значения $ f(x)$ могут быть как угодно близки к 0, однако в любой точке $ x$ значение $ f(x)>0$ и, следовательно, ни в какой точке $ x$ значение $ f(x)$ не равно 0.     

        Теорема 7.7 (о промежуточном значении)   Пусть функция $ f$ непрерывна в связной области $ {\Omega}$ . Рассмотрим произвольные две точки $ x^0,\ x^1\in{\Omega}$ и число $ C$ , промежуточное между значениями $ f(x^0)$ и $ f(x^1)$ :

$\displaystyle f(x^0)\leqslant C\leqslant f(x^1)$

(мы предположили, что $ f(x^0)\leqslant f(x^1)$ ). Тогда в области $ {\Omega}$ обязательно существует такая точка $ x^*$ , в которой $ f(x^*)=C$ , то есть функция принимает любое промежуточное значение в некоторой точке связной области $ {\Omega}$ .

        Доказательство.     Соединим точки $ x^0$ и $ x^1$ непрерывным путём $ {\gamma}(t)$ , $ t\in[0;1]$ , целиком лежащим в $ {\Omega}$ ; такой путь существует по предположению о связности области $ {\Omega}$ . Тогда $ {\gamma}(0)=x^0$ и $ {\gamma}(1)=x^1$ . Рассмотрим функцию одного переменного $ t\in[0;1]$ , равную композиции функции $ f$ и вектор-функции $ {\gamma}$ :

$\displaystyle g(t)=f({\gamma}(t)).$

Поскольку функция $ f$ и все функции $ {\gamma}_i(t)$ , задающие координаты пути, непрерывны, то композиция $ g(t)$ также является непрерывной функцией. При этом

$\displaystyle g(0)=f(x^0)\leqslant C\leqslant g(1)=f(x^1).$

Применяя к непрерывной на отрезке $ [0;1]$ функции $ g(t)$ теорему о промежуточном значении (для функций одного переменного, в данном случае $ t$ ), получаем, что найдётся такое значение параметра $ t$ , равное $ t^*\in[0;1]$ , для которого $ g(t^*)=C$ . Но это равенство означает в точности, что взяв $ x^*={\gamma}(t^*)$ , мы получим $ f(x^*)=C$ , что и требовалось.     

        Замечание 7.2   Если область $ {\Omega}$ не связна, то промежуточное значение $ C$ непрерывная функция может и не принимать ни в одной точке области. Пусть, например, $ {\Omega}$ состоит из двух открытых полуплоскостей: левой, $ x_1<0$ , и правой, $ x_1>0$ (выше мы видели, что такая область $ {\Omega}$ не связна). Рассмотрим функцию $ f(x_1;x_2)=\mathop{\rm sign}\nolimits (x_1)$ в области $ {\Omega}$ ; эта функция тождественно равна $ -1$ в левой полуплоскости и тождественно равна 1 в правой полуплоскости. В любой точке $ x$ области $ {\Omega}$ функция непрерывна, поскольку постоянна в некоторой круговой окрестности этой точки; поскольку область открыта, такая круговая окрестность, целиком содержащаяся в $ {\Omega}$ , существует для любой точки $ x\in{\Omega}$ . Однако никакое промежуточное значение $ C$ , такое что $ -1<C<1$ (например, $ C=0$ ), функция нигде не принимает.