‹-- Назад

Непрерывность функции

        Определение 7.10   Пусть $ x^0\in\mathbb{R}^n$  -- некоторая точка, и функция $ f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $ x^0$ . Назовём функцию $ f(x)$ непрерывной в точке $ x^0$ , если существует предел функции при $ x\to x^0$ , и этот предел равен значению функции в точке $ x^0$ :

$\displaystyle \lim_{x\to x^0}f(x)=f(x^0).$

Пусть теперь $ f(x)$ определена на некотором множестве $ {\Omega}$ , и $ x^0\in{\Omega}$ . Будем называть функцию $ f(x)$ непрерывной в точке $ x^0$ изнутри множества $ {\Omega}$ , если существует предел при $ {x\stackrel{{\Omega}}{\longrightarrow }x^0}$ , равный значению функции в точке $ x^0$ :

$\displaystyle \lim_{x\stackrel{{\Omega}}{\longrightarrow }x^0}f(x)=f(x^0).$

Если функция $ f(x)$ рассматривается в открытой области $ {\Omega}$ , то мы будем называть $ f(x)$ непрерывной в области $ {\Omega}$ , если $ f$ непрерывна в каждой точке $ x^0\in{\Omega}$ . Если же область $ {\Omega}$ замкнутая, то $ f(x)$ непрерывна в $ {\Omega}$ , если она непрерывна во всех внутренних точках $ x^0\in{\Omega}$ и непрерывна изнутри $ {\Omega}$ во всех граничных точках $ x^0\in\partial{\Omega}$ .

Далее мы для краткости будем пропускать слова "изнутри области $ {\Omega}$ ", и говорить о непрерывности функции в точке $ x^0$ безотносительно к тому, внутренняя ли это точка области $ {\Omega}$ или граничная.     

Простейшие свойства непрерывных функций нескольких переменных следуют из общих свойств пределов точно так же, как для функций одного переменного. А именно, имеет место следующая теорема:

        Теорема 7.4   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ определены в некоторой области $ {\Omega}$ . Тогда если обе они непрерывны в точке $ x^0\in{\Omega}$ , то:

1) функция $ h_1(x)=f(x)+g(x)$ непрерывна в точке $ x^0$ ;

2) функция $ h_1(x)=f(x)-g(x)$ непрерывна в точке $ x^0$ ;

3) функция $ h_1(x)=f(x)g(x)$ непрерывна в точке $ x^0$ ;

4) если $ g(x^0)\ne0$ , то функция $ h_1(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ непрерывна в точке $ x^0$ .     

Пусть $ {\omega}$  -- область в пространстве $ \mathbb{R}^m$ , и в $ {\omega}$ заданы $ n$ функций $ g_i(u)$ , $ u\in{\omega}$ , $ i=1,\dots,n$ . Предположим, что все значения вектор-функции $ x=g(u)=(g_1(u);\dots;g_n(u))$ принадлежат некоторой области $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ , в которой определена функция $ f(x)$ . Тогда имеет смысл композиция $ f\circ g$ функции $ f$ и вектор-функции $ g$ :

$\displaystyle (f\circ g)(u)=f(g(u)),\ u\in{\omega}.$

Рис.7.10.



        Теорема 7.5   В вышеописанной ситуации, если все функции $ g_i(u)$ непрерывны в области $ {\omega}$ , а функция $ f(x)$ непрерывна в области $ {\Omega}$ , то композиция $ f\circ g$ непрерывна в области $ {\omega}$ .

        Доказательство.     Пусть $ x^0=g(u^0)\in{\Omega}$ . Возьмём произвольное число $ {\varepsilon}>0$ . Непрерывность функции $ f$ означает, что в некоторой шаровой окрестности $ B^{x^0}_{{\delta}}$ (или, если $ x^0\in\partial{\Omega}$ , в $ B^{x^0}_{{\delta}}({\Omega})$ ) выполнено неравенство $ \vert f(x)-f(x^0)\vert<{\varepsilon}.$ Однако в шаровой окрестности $ B^{x^0}_{{\delta}}$ содержится кубическая окрестность

$\displaystyle Q^{x^0}_{\frac{{\delta}}{\sqrt{n}}}=\{x\in\mathbb{R}^n:\vert x_i-x_i^0\vert<\frac{{\delta}}{\sqrt{n}},
\ x\ne x^0;\ i=1,\dots,n\}.$

Рис.7.11.



Осталось выбрать такую шаровую окрестность $ B^{u^0}_{\eta}\sbs\mathbb{R}^m$ , где $ \eta>0$ , чтобы неравенства


были выполнены при $ u\in B^{u^0}_{\eta}$ (или $ u\in B^{u^0}_{\eta}({\omega})$ , если $ u^0\in\partial{\omega}$ ) и всех $ i=1,\dots,n$ . (В случае граничной точки $ x^0$ условие принаждежности точки $ x=g(u)$ области $ {\Omega}$ выполнено по предположению.)

Из непрерывности функции $ g_i(u)$ следует, что существует некоторая окрестность $ B^{u^0}_{\eta_i}\sbs\mathbb{R}^m$ , где $ \eta_i>0$ , в которой выполняется неравенство (7.1). Если теперь взять $ \eta=\min\{\eta_1;\dots;\eta_m\}$ , то при $ u$ из шаровой окрестности $ B^{u^0}_{\eta}$ неравенства (7.1) будут выполнены при всех $ i=1,\dots,n$ . (Разумеется, мы берём при этом точки $ u\in{\omega}$ , если точка $ u^0$  -- граничная.) Таким образом, при $ u\in B^{u^0}_{\eta}({\omega})$ точка $ g(u)=(g_1(u);\dots;g_n(u))$ лежит в кубической окрестности $ Q^{x^0}_{\frac{{\delta}}{\sqrt{n}}}$ точки $ x^0=g(u^0)$ . Но $ Q^{x^0}_{\frac{{\delta}}{\sqrt{n}}}\sbs B^{x^0}_{{\delta}}$ . Значит, при всех $ u\in B^{u^0}_{\eta}({\omega})$ выполняется неравенство

$\displaystyle \vert f(g(u))-f(g(u^0))\vert<{\varepsilon},$

что и означает непрерывность функции $ f\circ g$ в точке $ u^0$ .     

        Упражнение 7.6   Докажите включение

$\displaystyle Q^{x^0}_{\frac{{\delta}}{\sqrt{n}}}\sbs B^{x^0}_{{\delta}}.$

Это утверждение использовалось при доказательстве теоремы, но не было обосновано.     

Доказанные теоремы позволяют утверждать, что все элементарные функции многих переменных, полученные в результате применения арифметических действий и композиций к элементарным функциям переменных $ x_1,\dots,x^n$ , будут непрерывными во всех точках своих областей определения.

        Упражнение 7.7   Найдите, в какой области $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^2$ непрерывна функция двух переменных

$\displaystyle f(x_1;x_2)=\sin(\ln(\frac{x_1^2}{4}+\frac{x_2^2}{9}-1)).$