‹-- Назад

Пределы функций нескольких переменных

Для того чтобы дать определение предела функции нескольких переменных, нужно напомнить общее определение базы предела и предела функции по данной базе. Пусть функция $ f(x)$ имеет область определения $ \mathcal{D}(f)\sbs\mathbb{R}^n$ .

        Определение 7.8   Базой $ \mathcal{B}$ называется такой набор множеств $ E$ , называемых окончаниями базы, что, во-первых, все $ E$ не пусты и, во-вторых, если $ E_1,E_2\in\mathcal{B}$ , то найдётся такое окончание $ E_3\in\mathcal{B}$ , что $ E_3\sbs(E_1\cap E_2)$ .     

        Определение 7.9   Пусть функция $ f$ такова, что её область определения содержит целиком некоторое окончание базы $ \mathcal{B}$ . Число $ L$ называется пределом функции $ f$ по базе $ \mathcal{B}$ , если для любого, сколь угодно малого, числа $ {\varepsilon}>0$ найдётся такое окончание $ E$ базы $ \mathcal{B}$ , что при всех $ x\in E$ выполняется неравенство $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$ . Число $ L$ обозначается тогда

$\displaystyle L=\lim_{\mathcal{B}}f(x).$

    

Дадим примеры баз, используемых при вычислении пределов функций нескольких переменных.

        Пример 7.6   Пусть $ {\delta}>0$ . Назовём $ {\delta}$ -окрестностью точки $ x^0\in\mathbb{R}^n$ открытый шар $ B^{x^0}_{{\delta}}$ радиуса $ {\delta}$ с центром в точке $ x^0$ . Множество всех таких шаров образует, как нетрудно видеть, базу окрестностей точки $ x^0$ .

Назовём проколотой $ {\delta}$ -окрестностью $ E_{{\delta}}^{x^0}$ открытый шар радиуса $ {\delta}$ с центром в точке $ x^0$ , из которого выброшена сама точка $ x^0$ , то есть

$\displaystyle E^{x^0}_{{\delta}}=B^{x^0}_{{\delta}}\diagdown \{x^0\}.$

База всех проколотых $ {\delta}$ -окрестностей точки $ x^0$ обозначается $ x\to x^0$ .

Пусть $ {\Omega}$  -- некоторое фиксированное непустое множество в $ \mathbb{R}^n$ и $ x^0\in\mathop{\rm clo}\nolimits ({\Omega})$ . Рассмотрим в качестве окончаний все пересечения $ {\Omega}$ с проколотыми $ {\delta}$ -окрестностями точки $ x^0$ :

$\displaystyle E^{x^0}_{{\delta}}({\Omega})
=E^{x^0}_{{\delta}}\cap{\Omega}.$

Тогда совокупность всех $ E^{x^0}_{{\delta}}({\Omega})$ образуют базу. Эту базу мы будем обозначать $ x\stackrel{{\Omega}}{\longrightarrow }x^0$ .

Рис.7.8.



Если $ x^0\in\mathop{\rm int}\nolimits ({\Omega})$ , то при достаточно малых $ {\delta}$ окончания $ E^{x^0}_{{\delta}}({\Omega})$ совпадают с проколотыми окрестностями точки $ x^0$ .

Рис.7.9.



    

        Пример 7.7   Множества

$\displaystyle O_r=\{x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert\geqslant r\}=\complement B_r^0,$

то есть внешности шаров радиуса $ r$ с центром в начале координат, образуют базу окрестностей бесконечности. Эта база обозначается $ x\to\infty$ .     

По любой из приведённых баз можно вычислять предел функции нескольких переменных, при условии, что функция определена на каком-нибудь окончании данной базы.

Например, число $ L$ служит пределом функции $ f(x)$ при $ x\to x^0$ , где $ x^0$  -- внутренняя точка области $ {\Omega}\sbs\mathcal{D}(f)$ , если для любого числа $ {\varepsilon}>0$ найдётся такое (достаточно малое) число $ {\delta}>0$ , задающее проколотую окрестность $ E_{{\delta}}^{x^0}$ , что при $ x\in E_{{\delta}}^{x^0}$ будет выполнено неравенство $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$ . В этом случае будем писать

$\displaystyle L=\lim_{x\to x^0}f(x).$

Если же $ x^0$  -- не внутренняя, а граничная точка области $ {\Omega}$ , то можно рассмотреть предел функции $ f(x)$ по базе $ x\stackrel{{\Omega}}{\longrightarrow }x^0$ . (Заметим, что если $ {\Omega}=\mathcal{D}(f)$ и $ x^0\in\partial{\Omega}$ , то предел по базе $ x\to x^0$ заведомо не имеет смысла, так как функция $ f(x)$ не определена во всех точках ни одного из окончаний этой базы). Вся разница с пределом по базе $ x\to x^0$ будет состоять в том, что требовать выполнения неравенства $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$ мы теперь будем лишь в тех точках $ x$ проколотой $ {\delta}$ -окрестности точки $ x^0$ , которые одновременно принадлежат и $ {\Omega}$ . Предел

$\displaystyle L=\lim_{x\stackrel{{\Omega}}{\longrightarrow }x^0}f(x)$

мы будем называть пределом функции $ f(x)$ при $ x$ , стремящемся к $ x^0$ изнутри области $ {\Omega}$ .

Общие свойства пределов были нами изучены в курсе математики в первом семестре. Эти свойства верны и для пределов функций нескольких переменных.