‹-- Назад

График функции нескольких переменных

Пусть областью определения функции нескольких переменных $ f(x)$ служит некоторая область $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ .

Графиком функции $ f$ называется подмножество $ (n+1)$ -мерного пространства $ \mathbb{R}^{n+1}$ с координатами $ (x_1;x_2;\dots;x_n;y)$ , заданное уравнением $ y=f(x)$ , то есть множество

$\displaystyle {\Gamma}_f=\{(x_1;x_2;\dots;x_n;f(x_1;x_2;\dots;x_n))\}$

(последняя координата $ y$ точки $ (x;y)$ , принадлежащей графику $ {\Gamma}_f$ , равна значению функции в точке $ x$ ).

Рис.7.7.



Изобразить график функции $ n$ переменных на чертеже можно лишь в случае $ n+1\leqslant 3$ (мы не можем изобразить на бумаге пространство большей размерности) и, следовательно, лишь при $ n=1$ (что соответствует функциям одной вешественной переменной) или при $ n=2$ , то есть для функции двух переменных. В последнем случае, при $ n=2$ , график $ {\Gamma}_f$ обычно изображают в виде некоторой поверхности, расположенной над (или под) областью определения $ {\Omega}=\mathcal{D}(f)$ , а область определения располагают в горизонтальной плоскости чертежа -- плоскости $ \mathbb{R}^2=x_1Ox_2$ . Вертикальная координатная ось тогда соответствует оси значений функции, $ Oy$ . Точки $ M$ , лежащие на графике, имеют тогда три координаты: $ M(x_1;x_2;y)$ , причём $ y=f(x_1;x_2)$ .