‹-- Назад

Связные множества

Введём ещё несколько понятий, относящихся к множествам точек в $ \mathbb{R}^n$ .

Пусть $ I$  -- отрезок $ [0;1]$ на вещественной оси $ \mathbb{R}_t$ , переменная на которой обозначается буквой $ t$ . Рассмотрим $ n$ функций $ {\gamma}_1(t),{\gamma}_2(t),\dots,{\gamma}_n(t)$ , заданных на отрезке $ I$ . Каждому $ t\in I$ соответствует тогда точка $ {\gamma}(t)=({\gamma}_1(t);{\gamma}_2(t);\dots;{\gamma}_n(t))$ пространства $ \mathbb{R}^n$ . Получаем отображение

$\displaystyle {\gamma}:I\to\mathbb{R}^n,$

сопоставляющее каждому $ t\in I$ соответствующую точку $ {\gamma}(t)$ . Это отображение $ {\gamma}$ называется вектор-функцией, заданной на отрезке $ I\sbs\mathbb{R}_t$ .

Пусть теперь все функции $ {\gamma}_i$ , задающие вектор-функцию $ {\gamma}$ , непрерывны на отрезке $ I$ . Тогда и вектор-функцию $ {\gamma}$ будем называть непрерывной. Для такой непрерывной вектор-функции, при изменении $ t$ на отрезке $ I$ точка $ {\gamma}(t)$ непрерывно перемещается из положения $ x^0={\gamma}(0)$ в положение $ x^1={\gamma}(1)$ .

        Определение 7.5   В описанной выше ситуации будем называть отображение

$\displaystyle {\gamma}:I\to\mathbb{R}^n_x,$

заданное формулой $ x={\gamma}(t)$ , непрерывным путём, или просто путём, соединяющим точку $ x^0$ с точкой $ x^1$ пространства $ \mathbb{R}^n$ .

Рис.7.4.



Множество всех точек $ G=\{{\gamma}(t): t\in I\}$ будем называть непрерывной линией в $ \mathbb{R}^n$ , соединяющей точки $ x^0$ и $ x^1$ , а ту вектор-функцию $ {\gamma}$ , которая порождает линию $ G$  -- параметризацией этой линии.     

Заметим, что одна и та же линия $ G\sbs\mathbb{R}^n$ может иметь разные параметризации. Например, на плоскости $ \mathbb{R}^2$ с координатами $ (x_1;x_2)$ отрезок $ [0;1]$ оси $ Ox_1$ можно параметризовать, положив либо $ {\gamma}_1(t)=t,\ {\gamma}_2(t)=0$ , либо $ {\gamma}_1(t)=t^2,\ {\gamma}_2(t)=0$ (разумеется, формулы $ {\gamma}_1(t)=t^{{\alpha}},\ {\gamma}_2(t)=0$ , при любом $ {\alpha}>0$ задают ещё бесконечное множество различных параметризации той же линии $ G$ ).

        Определение 7.6   Множество $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ называется связным, если любые две точки $ x^0$ и $ x^1$ этого множества $ {\Omega}$ можно соединить непрерывной линией $ G$ , целиком лежащей в множестве $ {\Omega}$ , то есть если существует путь $ {\gamma}(t)$ , начинающийся в $ x^0$ и заканчивающийся в $ x^1$ , такой что $ {\gamma}(t)\in{\Omega}$ при всех $ t\in[0;1]$ .     

На следующем рисунке приведены примеры связных областей на плоскости.

Рис.7.5.



Связными областями являются:
1) всё пространство $ \mathbb{R}^n$ ;
2) замкнутые и открытые шары;
3) гиперплоскости;
4) замкнутые и открытые полупространства;
5) замкнутые и открытые параллелепипеды;
6) положительный и неотрицательный октанты.

        Упражнение 7.5   Докажите утверждение о связности перечисленных множеств. Заметим, что для всех этих множеств в качестве линии, соединяющей точки $ x^0$ и $ x^1$ , можно взять отрезок прямой. Напомним, что прямая в $ n$ -мерном пространстве параметризуется линейными функциями от переменного $ t$ :

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
x_1=a_1+b_1t;\\
x_2=a_2+b_2t;\\
\dots\\
x_n=a_n+b_nt.
\end{array}\right.$

Подумайте, как надо выбрать постоянные $ a_i$ и $ b_i$ , чтобы эти формулы задавали путь из $ x^0$ в $ x^1$ .     

        Определение 7.7   Множество $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ называется выпуклым, если прямолинейный отрезок $ G$ , соединяющий любые две точки $ x^0$ и $ x^1$ множества $ {\Omega}$ , целиком лежит в множестве $ {\Omega}$ .     

Получаем, что, во-первых, все перечисленные выше в пунктах 1) -- 6) множества являются выпуклыми и что, во-вторых, любое выпуклое множество связно.

Более подробно выпуклые множества мы будем изучать ниже.

Приведём пример несвязной области.

        Пример 7.4   Пусть $ {\Omega}$  -- область в $ \mathbb{R}^2$ с координатами $ (x_1;x_2)$ , заданная условием $ x_1\ne0$ . Эта область состоит из двух открытых полупространств $ \{x_1<0\}$ и $ \{x_1>0\}$ (и, тем самым, открыта). Покажем, что область $ {\Omega}$ не связна.

Если взять две точки $ x^0$ и $ x^1$ , такие что $ x^0_1<0$ и $ x^1_1>0$ , то обе они принадлежат $ {\Omega}$ , поскольку их первая координата отлична от 0. Предположим, что некоторый непрерывный путь $ {\gamma}(t)$ соединяет точку $ x^0$ с точкой $ x^1$ и $ {\gamma}(t)=({\gamma}_1(t);{\gamma}_2(t))$ .

Рис.7.6.



Поскольку $ {\gamma}_1(0)=x^0_1<0$ , $ {\gamma}_1(1)=x^1_1>0$ и функция $ {\gamma}_1(t)$ по предположению непрерывна при $ t\in[0;1]$ , то по теореме о корне найдётся такое значение $ t=t^*$ , что $ {\gamma}_1(t^*)=0$ . Но тогда точка $ {\gamma}(t^*)=(0;{\gamma}_2(t^*))$ не принадлежит области $ {\Omega}$ , поскольку её первая координата равна 0. Значит, любой непрерывный путь $ {\gamma}$ , соединяющий $ x^0$ с $ x^1$ , не может целиком лежать в $ {\Omega}$ . Это означает, что область $ {\Omega}$ не является связной.     

Если фиксировать некоторую точку $ x^0$ множества $ {\Omega}$ и рассмотреть все те точки $ x^1\in{\Omega}$ , в которые ведут непрерывные и целиком лежащие в $ {\Omega}$ пути, выходящие из $ x^0$ , то множество таких концевых точек $ x^1$ образует компоненту связности множества $ {\Omega}$ , содержащую точку $ x^0$ . Если эта компонента связности не охватывает всё множество $ {\Omega}$ , то можно рассмотреть какую-то точку $ x^{00}\in{\Omega}$ , не лежащую в этой компоненте, и, начиная с этой точки $ x^{00}$ , построить другую компоненту связности множества $ {\Omega}$ , не пересекающуюся с первой компонентой связности. Продолжая, если нужно, этот процесс далее, мы получаем разбиение множества $ {\Omega}$ на непересекающиеся компоненты связности.

Любое связное множество состоит из одной компоненты связности, а любое несвязное множество -- по меньшей мере из двух компонент связности.

        Пример 7.5   Несвязное множество $ {\Omega}$ , рассмотренное в примере 7.4, состоит из двух компонент связности -- открытых полупространств $ {{\Omega}_-=\{x_1<0\}}$ и $ {{\Omega}_+=\{x_1>0\}}$ .