‹-- Назад

Открытые и замкнутые области в $ \mathbb{R}^n$

        Определение 7.1   Функцией нескольких переменных будем называть любую функцию $ f$ с вешественными значениями, область определения которой $ \mathcal{D}=\mathcal{D}(f)$  -- подмножество $ n$ -мерного пространства $ \mathbb{R}^n$ , $ n\geqslant 2$ . Таким образом,

$\displaystyle f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}$ --

это функция, аргументами которой служат точки

$\displaystyle x=(x_1;x_2;\dots;x_n)\in\mathcal{D}\sbs\mathbb{R}^n,$

где координаты точки $ x$ , то есть числа $ x_i\in\mathbb{R}$ ( $ i=1,2,\dots,n$ ) -- те переменные, от которых зависит значение $ f(x)$ функции $ f$ .     

Нас будут интересовать функции, областями определения которых служат открытые или замкнутые подобласти $ {\Omega}$ в $ \mathbb{R}^n$ . Дадим определение того, что такое открытая и замкнутая области.

        Определение 7.2   Точку $ x^0$ множества $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ назовём внутренней точкой $ {\Omega}$ , если $ x^0$ входит в $ {\Omega}$ вместе с некоторой своей шаровой окрестностью:

$\displaystyle B=B^{x^0}_{{\delta}}=\{x\in\mathbb{R}^n:\ \vert x-x^0\vert<{\delta}\}\sbs{\Omega}.$

(Через $ {\delta}$ обозначен радиус шаровой окрестности $ B$ ; в качестве расстояния $ \vert\cdot\vert$ мы будем брать декартово расстояние между точками, так что расстояние между точками $ {a=(a_1;\dots;a_n)}$ и $ {b=(b_1;\dots;b_n)}$ равняется $ \vert a-b\vert=\sqrt{(a_1-b_1)^2+\ldots+(a_n-b_n)^2}$ .)

Рис.7.1.



Множество всех внутренних точек множества $ {\Omega}$ называется внутренностью множества $ {\Omega}$ и обозначается $ \mathop{\rm int}\nolimits ({\Omega})$ .

Множество $ {\Omega}$ называется открытым, если все его точки -- внутренние, то есть если оно совпадает со своей внутренностью: $ {\Omega}=\mathop{\rm int}\nolimits ({\Omega})$ . Открытое множество в $ \mathbb{R}^n$ часто называют также открытой областью.     

        Пример 7.1   Следующие подмножества пространства $ \mathbb{R}^n$ являются открытыми областями:
1) всё пространство $ \mathbb{R}^n$ ;
2) шар $ B^0_r$ радиуса $ r$ с центром в начале координат; его точки -- те точки $ x$ пространства, которые удовлетворяют неравенству $ \vert x\vert<r$ ;
3) полупространство, заданное соотношением $ a_1x_1+\ldots+a_nx_n>b$ , где $ a_1,\dots,a_n,b$  -- некоторые фиксированные числа (ограничивающая это полупространство гиперплоскость $ a_1x_1+\ldots+a_nx_n=b$ в полупространство не включается);
4) положительный октант $ \{x\in\mathbb{R}^n:x_i>0,\ i=1,\dots,n\}$ .

Проверьте, что все эти множества открыты.     

Легко видеть, что верно следующее утверждение.

        Теорема 7.1   Пусть задан любой набор открытых множеств $ {\Omega}_{{\alpha}}\sbs\mathbb{R}^n$ . Тогда их объединение $ {\Omega}=\bigcup\limits_{{\alpha}}{\Omega}_{{\alpha}}$ также является открытым множеством.

Рис.7.2


Пусть задан конечный набор открытых множеств $ {\Omega}_1,{\Omega}_2,\dots,{\Omega}_m$ . Тогда их пересечение $ {\Omega}=\bigcap\limits_{j=1}^m{\Omega}_j$ также является открытым множеством.     

Докажите эту теорему в качестве упражнения, исходя из определения открытого множества. Приведённый здесь рисунок используйте как подсказку к доказательству теоремы.

        Определение 7.3   Точку $ x^0\in\mathbb{R}^n$ назовём граничной точкой множества $ {\Omega}$ , если её шаровая окрестность $ B=B^{x^0}_{{\delta}}$ произвольного, как угодно малого, радиуса $ {\delta}>0$ содержит как точки множества $ {\Omega}$ , так и точки, не принадлежащие $ {\Omega}$ .

Рис.7.3.



Совокупность всех граничных точек множества $ {\Omega}$ называется границей множества $ {\Omega}$ и обозначается $ \partial{\Omega}$ .     

        Пример 7.2   1) Всё пространство $ \mathbb{R}^n$ , очевидно, не имеет ни одной граничной точки, так что $ \partial\mathbb{R}^n=\varnothing $ .

2) Границей шара радиуса $ r$ служит сфера того же радиуса с тем же центром: $ {\partial B_r^{x^0}=S_r^{x^0}=\{x\in\mathbb{R}^n:\vert x-x^0\vert=r\}.}$

3) Границей полупространства служит гиперплоскость $ a_1x_1+\ldots+a_nx_n=b$ , его определяющая.     

        Определение 7.4   Множество $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ называется замкнутым, если все граничные точки этого множества ему принадлежат, то есть если $ \partial{\Omega}\sbs{\Omega}$ .

Назовём дополнением в $ \mathbb{R}^n$ к множеству $ {\Omega}$ множество всех тех точек $ x\in\mathbb{R}^n$ , которые не принадлежат $ {\Omega}$ , то есть множество

$\displaystyle \complement{\Omega}=\mathbb{R}^n\diagdown {\Omega}=\{x\in\mathbb{R}^n:x\notin{\Omega}\}.$

Очевидно, что $ \complement\complement{\Omega}={\Omega}$ для любого множества $ {\Omega}$ .

Имеет место следующее утверждение:

        Теорема 7.2   Множество $ {\Omega}$ замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение $ \complement{\Omega}$ открыто, и наоборот, множество $ {\Omega}$ открыто тогда и только тогда, когда его дополнение $ \complement{\Omega}$ замкнуто.     

Докажите это утверждение в качестве упражнения. Из него и теоремы 7.1 сразу вытекает следующая теорема, если перейти к дополнениям:

        Теорема 7.3   Пусть задан любой набор замкнутых множеств $ {\Omega}_{{\alpha}}\sbs\mathbb{R}^n$ . Тогда их пересечение $ {\Omega}=\bigcup\limits_{{\alpha}}{\Omega}_{{\alpha}}$ также является замкнутым множеством.

Пусть задан конечный набор замкнутых множеств $ {\Omega}_1,{\Omega}_2,\dots,{\Omega}_m$ . Тогда их объединение $ {\Omega}=\bigcap\limits_{j=1}^m{\Omega}_j$ также является замкнутым множеством.     

Докажите это утверждение в качестве упражнения, следуя указанию, данному перед формулировкой теоремы.

Из любого множества $ {\Omega}$ можно получить замкнутое множество, если присоединить к $ {\Omega}$ все его граничние точки, то есть рассмотреть множество $ \mathop{\rm clo}\nolimits ({\Omega})={\Omega}\cup\partial{\Omega}$ . Множество $ \mathop{\rm clo}\nolimits ({\Omega})$ называется замыканием множества $ {\Omega}$ .

Множество $ {\Omega}$ называется замкнутой областью, если оно является замыканием некоторой открытой области (своей внутренности), то есть если $ {\Omega}=\mathop{\rm clo}\nolimits (\mathop{\rm int}\nolimits ({\Omega})).$     

        Пример 7.3   Всё пространство $ \mathbb{R}^n$ является замкнутой областью, так как его граница пуста.

Замыканием открытого шара $ B^{x^0}_r$ служит замкнутый шар $ \{x\in\mathbb{R}^n:\vert x-x^0\vert\leqslant r\}$ , получающийся добавлением к открытому шару сферы $ S^{x^0}_r$ . Замкнутый шар является замкнутой областью.

Замыканием открытого полупространства $ \{x\in\mathbb{R}^n:a_1x_1+\ldots+a_nx_n>b\}$ служит замкнутое полупространство $ \{x\in\mathbb{R}^n:a_1x_1+\ldots+a_nx_n\geqslant b\}$ , полученное добавлением к открытому полупространству ограничивающей его гиперплоскости $ \Pi=\{x\in\mathbb{R}^n:a_1x_1+\ldots+a_nx_n=b\}$ . Замкнутое полупространство является замкнутой областью.

Замыканием положительного октанта $ \{x\in\mathbb{R}^n:x_i>0,\ i=1,\dots,n\}$ служит неотрицательный октант

$\displaystyle \mathbb{R}^n_+=\{x\in\mathbb{R}^n:x_i\geqslant 0,\ i=1,\dots,n\}.$

Неотрицательный октант также является замкнутой областью.     

Однако не любое замкнутое множество в $ \mathbb{R}^n$ является замкнутой областью. Например, гиперплоскость $ \Pi$ содержит все свои граничные точки (она вся состоит из своих граничных точек) и, следовательно, замкнута. Однако внутренних точек она не имеет (никакой шар не лежит целиком в гиперплоскости). Поэтому её внутренность $ \mathop{\rm int}\nolimits (\Pi)=\varnothing $ , и замыкание внутренности также пусто, то есть не совпадает с $ \Pi$ . Значит, $ \Pi$ не является замкнутой областью, поскольку $ \mathop{\rm clo}\nolimits (\mathop{\rm int}\nolimits (\Pi))\ne\Pi$ .

        Упражнение 7.1   Докажите, что если множество $ {\Omega}$ замкнуто, то $ \mathop{\rm clo}\nolimits (\mathop{\rm int}\nolimits ({\Omega}))\sbs{\Omega}$ .     

        Упражнение 7.2   Пусть $ n=2$ и $ {\Gamma}=\{y=f(x)\}$  -- график функции $ f(x)$ , на отрезке $ [a;b]\sbs Ox$ , рассматриваемый как подмножество двумерного пространства -- плоскости $ \mathbb{R}^2=\{(x;y)\}$ . Докажите, что $ {\Gamma}$ не может являться открытым множеством.

Пусть теперь функция $ f$ имеет областью определения отрезок $ [a;b]\sbs Ox$ . Докажите, что её график $ {\Gamma}$ является замкнутым подмножеством плоскости $ \mathbb{R}^2_{x;y}$ тогда и только тогда, когда функция $ f(x)$ непрерывна на $ [a;b]$ .     

        Упражнение 7.3   Рассмотрим на плоскости $ \mathbb{R}^2=\{(x;y)\}$ график $ {\Gamma}$ функции $ f(x)=\sin\frac{1}{x}$ , при $ x\ne0$ . Докажите, что $ {\Gamma}$  -- не замкнутое множество и что $ \mathop{\rm clo}\nolimits ({\Gamma})={\Gamma}\cup I$ , где $ I=\{(0;y):y\in[-1;1]\}$  -- отрезок $ [-1;1]$ на оси $ Oy$ .     

        Упражнение 7.4   Пусть $ a_i<b_i$ , $ i=1,2,\dots,n$ . Рассмотрим интервалы $ (a_i;b_i)$ и отрезки $ [a_i;b_i]$ и их прямые произведения:

$\displaystyle P_{(a;b)}=\prod_{i=1}^n(a_i;b_i)=\{x\in\mathbb{R}^n:a_i<x_i<b_i\}$

и

$\displaystyle P_{[a;b]}=\prod_{i=1}^n[a_i;b_i]=\{x\in\mathbb{R}^n:a_i\leqslant x_i\leqslant b_i\}.$

Покажите, что $ P_{(a;b)}$  -- открытая область в $ \mathbb{R}^n$ и что $ P_{[a;b]}$  -- её замыкание (то есть замкнутая область).

Множество $ P_{(a;b)}$ будем называть открытым брусом, или открытым параллелепипедом, а множество $ P_{[a;b]}$  -- замкнутым брусом, или замкнутым параллелепипедом.