‹-- Назад

Вычисление длины плоской линии

Пусть линия $ L$ представляет собой график функции $ y=f(x)$ , рассматриваемый при $ x\in[a;b]$ . Будем предполагать, что функция $ f(x)$ имеет на $ [a;b]$ непрерывную производную. Наша цель -- найти длину линии $ L$ (по сути дела, нам придётся дать определение того, что мы считаем длиной произвольной линии).

Рассмотрим разбиение $ X$ отрезка $ [a;b]$ точками $ x_0=a<x_1<\dots<x_{n-1}<x_n=b$ и отметим соответствующие точки $ M_i(x_i;f(x_i))$ на графике. На каждом отрезке разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ приближённо заменим дугу графика $ y=f(x)$ на хорду $ M_{i-1}M_i$ .

Рис.6.14.



Длина этой хорды по теореме Пифагора равняется

$\displaystyle l_i=\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(f(x_i)-f(x_{i-1}))^2}.$

Рис.6.15.



Преобразуем это выражение к виду

$\displaystyle l_i=(x_i-x_{i-1})\sqrt{1+\Bigl(\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}\Bigr)^2}.$

По теореме Лагранжа, на интервале $ (x_{i-1};x_i)$ найдётся такая точка $ \ov x_i$ , что

$\displaystyle \frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}=f'(\ov x_i).$

Поэтому получаем

$\displaystyle l_i=(x_i-x_{i-1})\sqrt{1+(f'(\ov x_i))^2}.$

Рассмотрим теперь точки $ \ov x_i$ , $ i=1,\dots,n$ , как отмеченные точки и получим размеченное разбиение $ \Xi$ . Соответствующая этому разбиению суммарная длина ломаной $ M_0M_1\ldots M_{n-1}M_n$ равна

$\displaystyle \wt l_X=\sum_{i=1}^nl_i=
\sum_{i=1}^n
\sqrt{1+(f'(\ov x_i))^2}
(x_i-x_{i-1}).$

Будем считать эту длину приближённым значением длины линии $ L$ , а предел этой величины при неограниченном измельчении разбиения -- по определению равным длине $ l$ линии $ L$ :

$\displaystyle l=\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\wt l_X=
\lim_{\matho...
...diam}\nolimits (X)\to0}
\sum_{i=1}^n
\sqrt{1+(f'(\ov x_i))^2}
(x_i-x_{i-1}).$

Заметим теперь, что величина $ \wt l_X=\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{1+(f'(\ov x_i))^2}(x_i-x_{i-1})$ представляет собой интегральную сумму, составленную по размеченному разбиению $ \Xi$ для функции $ {g(x)=\sqrt{1+(f'(x))^2}}$ . Эта интегральная сумма при измельчении разбиения будет стремиться к значению определённого интеграла, так что получаем в итоге:


        Пример 6.6   Найдём длину $ l$ отрезка параболы $ y=\frac{x^2}{2}$ , лежащего между точками $ O(0;0)$ и $ A(1;\frac{1}{2})$ .

Рис.6.16.



Пусть $ f(x)=\frac{x^2}{2}$ ; тогда $ f'(x)=x$ и

$\displaystyle l=\int_0^1\sqrt{1+x^2}\;dx.$

Для вычисления значения интеграла $ l$ проинтегрируем по частям и преобразуем интеграл в правой части так, что получится уравнение относительно $ l$ :

$\displaystyle l=\int_0^1\sqrt{1+x^2}\;dx=\left\vert\begin{array}{l}
 u=\sqrt{1+...
...t\vert=
 x\sqrt{1+x^2}\Bigl\vert _0^1-\int_0^1x\cdot\frac{x\;dx}{\sqrt{1+x^2}}=$ (6.7*)
$\displaystyle =\sqrt{2}-\int_0^1\frac{(1+x^2)-1}{\sqrt{1+x^2}}\;dx=
 \sqrt{2}-l+\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\;dx,$ (6.8)

Здесь мы учли при перобразовании, что

$\displaystyle \int_0^1\frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}\;dx=
\int_0^1\sqrt{1+x^2}\;dx=l.$

Последний интеграл в правой части (6.7*) -- табличный:

$\displaystyle \int_0^1\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\;dx=
\ln\vert x+\sqrt{1+x^2}\vert\Bigl\vert _0^1=\ln(1+\sqrt{2}).$

Получаем в итоге уравнение для искомой величины $ l$ :

$\displaystyle l=\sqrt{2}-l+\ln(1+\sqrt{2}),$

откуда находим

$\displaystyle l=\frac{1}{2}(\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})).$

    

Аналогично построению, проведённому выше, можно выполнить построение вписанной ломаной для линии $ L$ , заданной параметрическими уравнениями в $ m$ -мерном пространстве с координатами $ (x_1;\dots;x_m)$ :

$\displaystyle x_j=f_j(t),\ j=1,\dots,m$

($ m=2$ для плоскости, $ m=3$ для трёхмерного пространства). Снова считая длину линии по определению равной пределу длин вписанных ломаных при измельчении разбиения, получаем формулу для длины $ l$ дуги линии $ L$ , лежащей между точками $ M_0(f_1({\alpha}),\dots,f_m({\alpha}))$ и $ N(f_1({\beta}),\dots,f_m({\beta}))$ :


Если на плоскости (то есть при $ m=2$ ) в качестве параметра $ t={\varphi}$ линии, заданной уравнением в полярных координатах $ r=f({\varphi})$ , взять полярный угол $ {\varphi}$ , то формула длины линии принимает вид

$\displaystyle l=\int_{{\alpha}}^{{\beta}}\sqrt{(f({\varphi}))^2+(f'({\varphi}))^2}\;d{\varphi}.$

При выводе этой формулы нужно учесть связь между декартовыми координатами $ (x_1;x_2)$ и полярными координатами $ (r;{\varphi})$ :

$\displaystyle x_1=r\cos{\varphi};\ x_2=r\sin{\varphi}.$

Выведите эту формулу длины из формулы (6.9) в качестве упражнения.

        Пример 6.7   Найдём длину дуги кривой (циклоиды), заданной на плоскости $ xOy$ параметрическими уравнениями

$\displaystyle x=a(t-\sin t);\ y=a(1-\cos t)\quad (a>0),$

лежащей между точками $ O(0;0)$ (соответствует $ t=0$ ) и $ A(2\pi a;0)$ (соответствует $ t=2\pi$ ).

Рис.6.17.



Для функций $ f_1(t)=a(t-\sin t)$ и $ f_2(t)=a(1-\cos t)$ вычислим производные:

$\displaystyle f'_1(t)=a(1-\cos t);\ f_2'(t)=a\sin t.$

Тогда искомая длина дуги равна

$\displaystyle l=\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2(1-\cos t)^2+a^2\sin^2t}\;dt=
2a\int_0^{2\pi}\sin\frac{t}{2}=8a.$

    

        Пример 6.8   Пусть линия на плоскости с полярными координатами $ (r;{\varphi})$ задана уравнением $ r=a\vert\sin^3\frac{{\varphi}}{3}\vert$ ($ a>0$ ). Поскольку функция $ f({\varphi})=a\vert\sin^3\frac{{\varphi}}{3}\vert$ периодична с периодом $ 3\pi$ , достаточно рассматривать только значения аргумента $ {\varphi}\in[0;3\pi]$ , при которых выражение $ \sin^3\frac{{\varphi}}{3}$ неотрицательно. Кривая имеет вид, изображённый на следующем рисунке.

Рис.6.18.



Найдём длину этой линии.

Имеем

$\displaystyle f'({\varphi})=a\cdot3\sin^2\frac{{\varphi}}{3}\cos\frac{{\varphi}}{3}\cdot\frac{1}{3}=
a\sin^2\frac{{\varphi}}{3}\cos\frac{{\varphi}}{3}.$

Поэтому искомая длина $ l$ равна

$\displaystyle l=\int_0^{3\pi}
 \sqrt{a^2\sin^6\frac{{\varphi}}{3}+a^2\sin^4\fra...
...}=
 \frac{a}{2}\int_0^{3\pi}\Bigl(1-\cos\frac{2{\varphi}}{3}\Bigr)\;d{\varphi}=$    
$\displaystyle =\frac{a}{2}\Bigl({\varphi}-\frac{3}{2}\sin\frac{2{\varphi}}{3}\Bigr)\Bigl\vert _0^{3\pi}=
 \frac{3\pi a}{2}.$