‹-- Назад

Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

Пусть в пространстве $ \mathbb{R}^3$ с декартовой системой координат $ Oxyz$ лежит область $ {\Omega}$ , проектирующаяся на ось $ Ox$ в отрезок $ [a;b]$ . Предположим, что для каждого $ x\in[a;b]$ нам известна площадь $ S(x)$ сечения тела $ {\Omega}$ плоскостью, проходящей через точку $ x$ оси абсцисс перпендикулярно этой оси. Площадь $ S(x)$ будем называть площадью поперечного сечения тела $ {\Omega}$ .

Для нахождения объёма тела $ {\Omega}$ возьмём размеченное разбиение $ \Xi$ отрезка $ [a;b]$ , которое образуют точки деления $ x_0=a<x_1<\ldots<x_{n-1}<x_n=b$ и отмеченные точки $ \ov x_i\in[x_{i-1};x_i]$ , $ i=1,\dots,n$ . Плоскости $ x=x_i$ разбивают тело $ {\Omega}$ на слои $ {\Omega}_i$ , объёмы которых мы вычислим приближённо, в соответствии с этим разбиением заменив объём слоя $ {\Omega}_i$ на объём цилиндра, высота которого $ h_i=x_i-x_{i-1}$ та же, что у слоя $ {\Omega}$ , а основание совпадает с сечением тела плоскостью $ x=\ov x_i$ , проведённой где-то посередине между основаниями слоя $ {\Omega}_i$ (см. рис.). Образующие этого цилиндра -- отрезки прямых, проходящих параллельно оси $ Ox$ через точки границы сечения.

Рис.6.9.



Объём цилиндра равен, очевидно, $ \wt V_i=S(\ov x_i)h_i$ , а подсчитанный приближённо с помощью данного разбиения объём всего тела $ {\Omega}$  --

$\displaystyle V_{{\Omega}}\approx\wt V_{\Xi}=
\sum_{i=1}^n\wt V_i=
\sum_{i=1}^nS(\ov x_i)h_i.$

Последняя сумма -- это интегральная сумма, построенная для функции $ S(x)$ по размеченному разбиению $ \Xi$ . При неограниченном измельчении разбиения (то есть при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ ) эта сумма стремится к значению определённого интеграла от $ S(x)$ по $ [a;b]$ . С другой стороны, задаваемый этой суммой объём будет стремиться к объёму тела $ V_{{\Omega}}$ (этот предельный объём мы можем по определению считать равным объёму тела $ {\Omega}$ ). Итак, получаем формулу


        Пример 6.4   Найдём объём ограниченного тела, заключённого между поверхностью цилиндра радиуса $ R$ : $ x^2+y^2=R^2$ , горизонтальной плоскостью $ z=0$ и наклонной плоскостью $ z=2y$ и лежащего выше горизонтальной плоскости $ z=0$ (см. рис.).

Рис.6.10.



Очевидно, что рассматриваемое тело $ {\Omega}$ проектируется на ось $ Ox$ в отрезок $ [-R;R]$ , а при $ x\in(-R;R)$ поперечное сечение тела представляет собою прямоугольный треугольник с катетами $ y$ и $ z=2y$ , где $ y$ можно выразить через $ x$ из уравнения цилиндра:

$\displaystyle y=\sqrt{R^2-x^2}.$

Поэтому площадь $ S(x)$ поперечного сечения такова:

$\displaystyle S(x)=\frac{1}{2}y\cdot2y=y^2=R^2-x^2.$

Применяя формулу (6.5), находим объём тела $ {\Omega}$ :

$\displaystyle V_{{\Omega}}=\int_{-R}^R(R^2-x^2)\;dx=\bigl(R^2x-\frac{x^3}{3}\bi...
...
\bigl(R^3-\frac{R^3}{3}\bigr)-
\bigl(-R^3+\frac{R^3}{3}\bigr)=\frac{4R^3}{3}.$

    

Пусть тело $ {\Omega}$ ограничено поверхностью, полученной вращением в пространстве $ Oxyz$ линии $ y=f(x)$ , лежащей в плоскости $ xOy$ и рассматриваемой при $ x\in[a;b]$ , вокруг оси $ Ox$ , а также (с боков) плоскостями $ x=a$ и $ x=b$ (см. рис.).

Рис.6.11.



Поскольку поперечными сечениями такого тела вращения служат круги12 радиуса $ {\vert y\vert=\vert f(x)\vert}$ , площадь поперечного сечения будет в этом случае выражаться формулой

$\displaystyle S(x)=\pi y^2=\pi(f(x))^2,$

а объём тела вращения, как следствие формулы (6.5), равен

$\displaystyle V_{{\Omega}}=\pi\int_a^b(f(x))^2\;dx,$

или, более кратко,


        Пример 6.5   Пусть в плоскости $ xOy$ рассматривается линия $ y=\cos x$ на отрезке $ \bigl[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\bigr]$ .

Рис.6.12.



Эта линия вращается в пространстве вокруг оси $ Ox$ , и полученная поверхность вращения ограничивает некоторое тело вращения (см. рис.). Найдём объём $ V$ этого тела вращения.

Рис.6.13.



Согласно формуле (6.6), получаем:

$\displaystyle V=\pi\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2x\;dx=
\frac{\pi...
...}{2}\sin2x\bigr)\Bigr\vert _{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=
\frac{\pi^2}{2}.$