‹-- Назад

Площадь в полярных координатах

Напомним, что определением интеграла служит предел интегральных сумм, взятый при условии измельчения разбиения отрезка интегрирования. Этим определением мы воспользуемся для нахождения площади в следующем случае.

Пусть на плоскости фиксирована система полярных координат: полярными координатами точки $ M$ служат два числа $ (r;{\varphi})$ ($ r=\vert OM\vert$  -- полярный радиус, $ {\varphi}=\angle MOx$  -- полярный угол).

Рис.6.4.



Уравнение, задающее зависимость величины $ r$ от полярного угла $ {\varphi}$ ,

$\displaystyle r=f({\varphi}),$

задаёт некоторую линию на плоскости. Будем предполагать, что функция $ f({\varphi})$ непрерывна при $ {\varphi}\in[{\alpha};{\beta}]$ . Рассмотрим область $ \mathcal{D}$ на плоскости, расположенную между выходящими из начала координат лучами $ {\varphi}={\alpha}$ и $ {\varphi}={\beta}$ и линией $ r=f({\varphi}),\ {\varphi}\in[{\alpha};{\beta}]$ (эта область заштрихована на следующем чертеже).

Рис.6.5.



Найдём площадь области $ \mathcal{D}$ , вначале приблизив область ступенчатой фигурой следующего устройства. Область изменения угла $ {\varphi}$ , то есть отрезок $ [{\alpha};{\beta}]$ , разобьём на части точками деления

$\displaystyle {\alpha}={\varphi}_0<{\varphi}_1<\ldots<{\varphi}_{n-1}<{\varphi}_n={\beta}$

и выберем на каждом участке $ [{\varphi}_{i-1};{\varphi}_i]$ некоторую отмеченную точку $ \ov{\varphi}_i$ . Получаем размеченное разбиение $ \Xi$ отрезка $ [{\alpha};{\beta}]$ . Приближённо будем считать площадь $ \wt S_i$ сектора области $ \mathcal{D}$ , лежащего между лучами $ {\varphi}={\varphi}_{i-1}$ и $ {\varphi}={\varphi}_i$ , равной площади $ S_i$ кругового сектора с тем же центральным углом $ {\Delta}{\varphi}_i={\varphi}_i-{\varphi}_{i-1}$ и радиусом, равным $ r_i=f(\ov{\varphi}_i)$ (см. рис.):

Рис.6.6.



Площадь кругового сектора подсчитывается по формуле

$\displaystyle S_i=\frac{1}{2}r_i^2{\Delta}{\varphi}_i=\frac{1}{2}(f(\ov{\varphi}_i))^2({\varphi}_i-{\varphi}_{i-1}).$

Значит, площадь всей области приближённо равна интегральной сумме

$\displaystyle \sum_{i=1}^nS_i=
\frac{1}{2}
\sum_{i=1}^n
(f(\ov{\varphi}_i))^2({\varphi}_i-{\varphi}_{i-1}),$

построенной по выбранному размеченному разбиению отрезка $ [{\alpha};{\beta}]$ для функции

$\displaystyle g({\varphi})=\frac{1}{2}(f({\varphi}))^2.$

При неограниченном измельчении разбиения $ \Xi$ , то есть при условии $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ , эта интегральная сумма будет стремиться к площади области $ \mathcal{D}$ . С другой стороны, предел интегральных сумм для функции $ g({\varphi})$ даст определённый интеграл от этой функции. Таким образом, получаем формулу площади:

$\displaystyle S_{\mathcal{D}}=\frac{1}{2}\int_{{\alpha}}^{{\beta}}(f({\varphi}))^2\;d{\varphi}.$

Более кратко эту формулу можно записать так:


где имеется в виду, что вместо полярного радиуса $ r$ нужно подставить его выражение через полярный угол $ {\varphi}$ для зависимости, график которой ограничивает область снаружи.

        Пример 6.3   Найдём площадь $ S$ области, ограниченной частью спирали $ r=a{\varphi}^2$ ($ a>0$ ) при $ {\varphi}\in[0;2\pi]$ и отрезком $ [0;4\pi^2a]$ оси $ Ox$ (см. рис.).

Рис.6.7.



Применяя формулу (6.3), получаем:

$\displaystyle S=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(a{\varphi}^2)^2\;d{\varphi}=
\frac{a^...
...arphi}^5}{5}\Bigl\vert _0^{2\pi}=\frac{a^2}{10}(2\pi)^5=
\frac{16a^2\pi^5}{5}.$

    

Если область $ \mathcal{D}$ имеет границу, состоящую из двух отрезков лучей $ {\varphi}={\alpha}$ и $ {\varphi}={\beta}$ (эти отрезки могут вырождаться в одну точку) и двумя линиями, заданными уравнениями в полярных координатах: $ r=f_1({\varphi})$ и $ r=f_2({\varphi})$ , причём $ f_1({\varphi})\leqslant f_2({\varphi})$ при всех $ {\varphi}\in[{\alpha};{\beta}]$ (см. рис.), то площадь $ S$ области $ \mathcal{D}$ можно представить как разность двух площадей: $ S_2$  -- площади области, лежащей между лучами $ {\varphi}={\alpha}$ , $ {\varphi}={\beta}$ и линией $ r=f_2({\varphi})$ , -- и $ S_1$  -- площади области, лежащей между лучами $ {\varphi}={\alpha}$ , $ {\varphi}={\beta}$ и линией $ r=f_1({\varphi})$ .

Рис.6.8.



Каждую из площадей $ S_1$ и $ S_2$ можно подсчитать по формуле (6.3), так что получаем в итоге