‹-- Назад

Площадь области, лежащей между двумя графиками

Пусть $ f(x)$ и $ g(x)$  -- две непрерывные функции, заданные на отрезке $ [a;b]$ , причём $ f(x)\leqslant g(x)$ при всех $ x\in[a;b]$ . Между графиками $ y=f(x)$ и $ y=g(x)$ лежит область $ \mathcal{D}$ , с боков ограниченная отрезками прямых $ x=a$ и $ x=b$ .

Рис.6.1.



Если обе функции неотрицательны, то есть $ f(x)\geqslant 0$ , то для вычисления площади $ S_{\mathcal{D}}$ области $ \mathcal{D}$ достаточно заметить, что она равна разности площадей областей $ \mathcal{D}_g$ и $ \mathcal{D}_f$ , лежащих между отрезком $ [a;b]$ (снизу) и, соответственно, графиком $ y=g(x)$ и $ y=f(x)$ (сверху). Для нахождения площади $ S_g$ области $ \mathcal{D}_g$ и $ S_f$ области $ \mathcal{D}_f$ применим формулу (6.1) и получим:


Если же неравенство $ f(x)\geqslant 0$ не выполнено, то заметим следующее: функция $ f(x)$ ограничена, в том числе снизу, на $ [a;b]$ :

$\displaystyle f(x)\geqslant M$

при некотором $ M$ (по предположению, $ M<0$ ). Сдвинем оба графика, $ y=f(x)$ и $ y=g(x)$ , на $ \vert M\vert=-M$ единиц вверх, то есть рассмотрим функции $ f_1(x)=f(x)-M$ и $ g_1(x)=g(x)-M$ . Тогда, с одной стороны, область между графиками тоже целиком сдвигается на $ \vert M\vert$ вверх, и её площадь не изменяется; с другой стороны, оба сдвинутых вверх графика окажутся целиком не ниже оси $ Ox$ , и площадь между ними можно будет сосчитать по формуле (6.2). Заметим теперь, что

$\displaystyle g_1(x)-f_1(x)=g(x)-f(x).$

В итоге получаем:

$\displaystyle S_{\mathcal{D}}=S_{g_1}-S_{f_1}=
\int_a^b(g_1(x)-f_1(x))\;dx=
\int_a^b(g(x)-f(x))\;dx.$

Итак, формула (6.2) остаётся верной вне зависимости от того, как графики функций $ f(x)$ и $ g(x)$ расположены относительно оси $ Ox$ .

        Пример 6.1   Найдём площадь ограниченной области, лежащей между графиками $ y=x^2$ и $ y=\sqrt{x}$ . Эти графики имеют две общих точки $ (0;0)$ и $ (1;1)$ (см. рис.), причём на отрезке $ [0;1]$ график $ y=\sqrt{x}$ идёт выше, чем график $ y=x^2$ .

Рис.6.2.



Значит, площадь области $ \mathcal{D}$ между графиками равна

$\displaystyle S_{\mathcal{D}}=\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)\;dx=
\frac{2}{3}x\sqrt{x}...
...\vert _0^1-\frac{1}{3}x^3\Bigr\vert _0^1=
\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.$

    

        Пример 6.2   Найдём площадь ограниченной области $ \mathcal{D}$ , лежащей между графиками $ y=x^3$ и $ y=x^5$ . Решая уравнение $ x^3=x^5$ , находим, что эти графики пересекаются в трёх точках: $ (-1;-1)$ , $ (0;0)$ и $ (1;1)$ , причём на отрезке $ [-1;0]$ выше расположен график $ y=x^5$ , а на отрезке $ [0;1]$  -- график $ y=x^3$ . Так как обе функции нечётны, то чертёж обоих графиков симметричен относительно начала координат, и площадь левой части области между графиками (при $ x\in[-1;0]$ ) равна площади правой части области (при $ x\in[0;1]$ ).

Рис.6.3.



Поэтому искомую площадь можно подсчитать так:

$\displaystyle S_{\mathcal{D}}=2\int_0^1(x^3-x^5)\;dx=
2\Bigl(\frac{x^4}{4}-\fr...
...^6}{6}\Bigr)\Bigl\vert _0^1=
2\bigl(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\bigr)=\frac{1}{6}.$