‹-- Назад

Квадратурные формулы более высокого порядка точности

Дальнейшее повышение порядка точности формул, подобных квадратурным формулам центральных прямоугольников, трапеций, парабол, можно получить, применяя на отрезках разбиения интерполяцию функции $ f(x)$ многочленами более высокой степени (ниже мы использовали линейные функции, то есть многочлены степени 1, и квадратные трёхчлены -- многочлены степени 2).

Например, если использовать кубическое интерполирование, то есть приближать функцию $ f(x)$ многочленами степени 3, то получится формула, называемая кквадратурной формулой $ \frac{3}{8}$ (три восьмых)":

$\displaystyle I\approx I_{\frac{3}{8}}=\frac{1}{8}\sum_{i=1}^n
\bigl(f(x_i)
+3f(x_{i-\frac{1}{3}})
+3f(x_{i-\frac{2}{3}})
+f(x_{i-1})\bigr)\cdot h_i,$

где $ h_i=x_i-x_{i-1}$ , $ x_{i-\frac{1}{3}}=x_i-\frac{1}{3}h_i$ и $ x_{i-\frac{2}{3}}=x_i-\frac{2}{3}h_i$ , то есть точки $ x_{i-\frac{2}{3}}$ и $ x_{i-\frac{1}{3}}$ делят отрезок разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ на три равных части. Число $ \frac{3}{8}$ в названии формулы связано с тем, что если положить $ h=h_i=\frac{b-a}{n}$ постоянным и ввести обозначение $ {\delta}=\frac{h}{3}$ , то формула получает вид

$\displaystyle I\approx I_{\frac{3}{8}}=\frac{3}{8}{\delta}\sum_{i=1}^n
\bigl(f(x_i)
+3f(x_{i-\frac{1}{3}})
+3f(x_{i-\frac{2}{3}})
+f(x_{i-1})\bigr).$

Если же использовать для интерполяции многочлены шестой степени $ P_i(x)$ и заменять интеграл ог $ f(x)$ на каждом из отрезков $ [x_{i-1};x_i]$ на интеграл от $ P_i(x)$ , то получится квадратурная формула, называемая формулой Уэддля:

$\displaystyle I\approx I_W=\frac{1}{20}\sum_{i=1}^n
\bigl(f_{i0}+5f_{i1}+f_{i2}+6f_{i3}+f_{i4}+5f_{i5}+f_{i6}\bigr)\cdot h_i,$

где $ h_i=x_i-x_{i-1}$ и $ f_{ij}=f(x_{i-1}+j\cdot\frac{h_i}{6}.$ Таким образом, при применении формулы Уэддля на каждом очередном отрезке нужно вычислить 6 новых значений функции $ f_{i1},\dots,f_{i6}$ , а значение $ f_{i0}=f_{(i-1)6}$ вычислять заново не нужно, оно было уже вычислено на предыдущем шаге.

Для ошибки формулы Уэддля $ {\varepsilon}_W=I-I_W$ с постоянным шагом $ h_i=h=\frac{b-a}{n}$ имеется такая оценка:

$\displaystyle \vert{\varepsilon}_W\vert\leqslant \frac{b-a}{39\,191\,040}h^6\Bigl(M_6+\frac{h^2}{40}M_8\Bigr),$

где $ \vert f^{(6)}(x)\vert\leqslant M_6$ и $ \vert f^{(8)}(x)\vert\leqslant M_8$ при всех $ x\in[a;b]$ . При этом предполагается, что восьмая производная $ f^{(8)}(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$ .

Таким образом, формула Уэддля является квадраткрной формулой шестого порядка точности. На практике формулы более высокого порядка точности, чем формула Уэддля, не используются. Формула " $ \frac{3}{8}$ " используется редко. Если не устраивает формула Симпсона, то сразу переходят к формуле Уэддля.

        Замечание 5.2   Мы не затрагиваем здесь вопросов, связанных с квадратурными формулами Гаусса (в которых, для повышения точности, точки $ x_i\in[a;b]$ , в которых вычисляются значения функции $ f(x)$ , выбираются специальным образом), а также другие вопросы приближённого нахождения интегралов, например, нахождение несобственных интегралов, осциллирующих интегралов и других интегралов специальных типов. Интересующихся этими вопросами мы отсылаем к книгам
Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. -- М.: Наука, 1987,
Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. -- М.: Высш. шк., 1994,
Рябенький В. С. Введение в вычислительную математику. -- М.: Наука, Физматлит, 1994.