‹-- Назад

Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)

При выводе двух предыдущих квадратурных формул мы приближали график подынтегральной функции $ f(x)$ на каждом из отрезков разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ прямой линией: либо касательной в формуле центральных прямоугольников, либо хордой в формуле трапеций. Очередным по сложности шагом является выбор приближения графика функции $ f(x)$ в виде параболы -- графика некоторого квадратного трёхчлена $ P_i(x)$ . Его вид, конечно, будет зависеть от отрезка $ [x_{i-1};x_i]$ , на котором мы выбираем приближение.

Выберем, например, такой квадратный трёхчлен $ P_i$ , чтобы его значения в точках $ x_{i-1},\ x_{i-\frac{1}{2}}$ и $ x_i$ совпадали со значениями функции $ f(x)$ в этих же точках:


Напомним, что через $ x_{i-\frac{1}{2}}$ мы обозначали середину отрезка $ [x_{i-1};x_i]$ , то есть $ x_{i-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(x_{i-1}+x_i).$ Функцию можно записать в виде

$\displaystyle P_i(x)=a+b(x-x_{i-1})+c(x-x_{i-1})(x-x_{i-\frac{1}{2}});$

действительно, раскрыв скобки, получим некоторый квадратный трёхчлен. Подберём числа $ a,b,c$ так, чтобы выполнялись равенства (5.3). Положим $ h_i=x_i-x_{i-1}$ , тогда $ x_i-x_{i-\frac{1}{2}}=\frac{h_i}{2}$ и $ x_{i-\frac{1}{2}}-x_{i-1}=\frac{h_i}{2}$ . Подставим $ x=x_{i-1}$ в выражение для $ P_i(x)$ и получим:

$\displaystyle P_i(x_{i-1})=f(x_{i-1})=a,$

то есть

$\displaystyle a=f(x_{i-1}).$

Подстановка $ x=x_{i-\frac{1}{2}}$ даёт

$\displaystyle P_i(x_{i-\frac{1}{2}})=f(x_{i-\frac{1}{2}})=f(x_{i-1})+b\cdot\frac{h_i}{2},$

откуда

$\displaystyle b=\frac{2}{h_i}(f(x_{i-\frac{1}{2}}-f(x_{i-1})).$

Наконец, подставим $ x=x_i$ и получим

$\displaystyle P_i(x_i)=f(x_i)=f(x_{i-1})+\frac{2}{h_i}(f(x_{i-\frac{1}{2}}-f(x_{i-1}))\cdot h_i+
c\cdot h_i\cdot\frac{h_i}{2},$

откуда

$\displaystyle c=\frac{2}{h_i^2}(f(x_i)-f(x_{i-1})-2(f(x_{i-\frac{1}{2}})-f(x_{i-1})))=
\frac{2}{h_i^2}(f(x_i)-2f(x_{i-\frac{1}{2}})+f(x_{i-1})).$

Вычислим теперь интеграл от интерполяционной функции $ P_i(x)$ , для чего сделаем в нём замену $ t=x-x_{i-1}$ :

$\displaystyle \int_{x_{i-1}}^{x_i}P_i(x)\;dx=
 \int_0^{h_i}(a+bt+ct(t-\frac{h_i}{2}))dt=$    
$\displaystyle =\Bigl[at+\frac{bt^2}{2}+c
 \bigl(\frac{t^3}{3}-\frac{h_i}{2}\cdo...
...2}{2}\bigr)\Bigr]\Bigr\vert _0^{h_i}=
 ah_i+\frac{bh_i^2}{2}+\frac{ch_i^3}{12}=$    
$\displaystyle =f(x_{i-1})h_i+
 \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{h_i}\bigl(f(x_{i-\frac{...
...\cdot\frac{2}{h_i^2}
 \bigl(f(x_i)-2f(x_{i-\frac{1}{2}})+f(x_{i-1})\bigr)h_i^3=$    
$\displaystyle =\frac{h_i}{6}
 \bigl(f(x_i)+4f(x_{i-\frac{1}{2}})+f(x_{i-1})\bigr).$    

Осталось просуммировать эти величины по всем отрезкам разбиения. При этом получаем квадратурную формулу, которая называется формулой Симпсона, или формулой парабол:

$\displaystyle I\approx I_S=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^n
\bigl(f(x_i)+4f(x_{i-\frac{1}{2}})+f(x_{i-1})\bigr)\cdot h_i.$

Нетрудно видеть, что это в точности та же "комбинированная" квадратурная формула (5.2), которую мы получили выше из формул центральных прямоугольников и трапеций.

        Замечание 5.1   При вычислении очередного слагаемого

$\displaystyle \bigl(f(x_i)+4f(x_{i-\frac{1}{2}})+f(x_{i-1})\bigr)\cdot h_i$

требуется вычислить только два (а не три) новых значения функции $ f(x)$ , а именно, значения $ f(x_i)$ и $ f(x_{i-\frac{1}{2}})$ . Значение $ f(x_{i-1})$ использовалось на предыдущем шаге и было тогда уже вычислено.     

Если при применении формулы Симпсона взять все отрезки разбиения одинаковой длины $ h_i=h=\frac{\textstyle{b-a}}{\textstyle{n}}$ , то формула Симпсона получает вид


Раскрыв скобки и объединив одинаковые слагаемые, можно легко привести эту формулу к виду

$\displaystyle I\approx I_S=\frac{h}{6}
\Bigl(f(x_0)+4\sum_{i=1}^nf(x_{i-\frac{1}{2}})+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\Bigr).$

Действительно, слагаемые с целыми номерами (кроме $ f(x_0)=f(a)$ и $ f(x_n)=f(b)$ ) входят по одному разу в каждое их двух соседних слагаемых в сумме (5.4), так что для них получается сумма с коэффициентом 2.

Оценка ошибки формулы Симпсона, то есть величины $ {\varepsilon}_S=I-I_S$ , такова. Предположим, что функция $ f(x)$ имеет на отрезке $ [a;b]$ непрерывную четвёртую производную $ f^{(4)}(x)$ , причём

$\displaystyle \vert f^{(4)}(x)\vert\leqslant M_4$

при всех $ x\in[a;b]$ . Тогда при выборе постоянного шага $ h_i=h=\frac{\textstyle{b-a}}{\textstyle{n}}$ имеет место неравенство

$\displaystyle \vert{\varepsilon}_S\vert\leqslant \frac{M_4(b-a)}{2880}h^4=\frac{M_4(b-a)^5}{2880}\cdot\frac{1}{n^4}.$

Таким образом, формула Симпсона -- это квадратурная формула четвёртого порядка точности. Это означает, что при уменьшении шага $ h$ вдвое ошибка $ {\varepsilon}_S$ уменьшится примерно в $ 2^4=16$ раз, а при уменьшении шага в 10 раз ошибка уменьшится примерно в $ 10^4=10000$ раз.

Доказательство приведённой оценки для формулы Симпсона можно найти, например, в книге
Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. -- М.: Наука, 1987.