‹-- Назад

Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников

Будем предполагать, что функция $ f(x)$ имеет на отрезке интегрирования $ [a;b]$ вторую производную $ f''(x)$ , и $ f''(x)$ непрерывна на $ [a;b]$ , причём

$\displaystyle \vert f''(x)\vert\leqslant M_2$ при всех $\displaystyle x\in[a;b].$

Для метода центральных прямоугольников представим ошибку $ {\varepsilon}_R$ в виде суммы ошибок на каждом отрезке разбиения:

$\displaystyle {\varepsilon}_R=I-I_R=
 \int_a^bf(x)\;dx-\sum_{i=1}^nf(x_{i-\frac{1}{2}})(x_i-x_{i-1})=$    
$\displaystyle \sum_{i=1}^n\int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)\;dx
 -\sum_{i=1}^nf(x_{i-\fr...
...(x_i-x_{i-1})
 =\sum_{i=1}^n\int_{x_{i-1}}^{x_i}(f(x)-f(x_{i-\frac{1}{2}})\;dx.$    

По формуле Тейлора, применённой к функции $ f(x)$ в точке $ x_{i-\frac{1}{2}}$ , получаем для $ {x\in[x_{i-1};x_i]}$ :

$\displaystyle f(x)=f(x_{i-\frac{1}{2}})+f'(x_{i-\frac{1}{2}})(x-x_{i-\frac{1}{2}})+
\frac{1}{2}f''(\wt x)(x-x_{i-\frac{1}{2}})^2,$

где $ \wt x\in[x_{i-1};x_i]$  -- некоторая точка, лежащая между $ x$ и $ x_{i-\frac{1}{2}}$ .

Заметим, что

$\displaystyle \int_{x_{i-1}}^{x_i}
f'(x_{i-\frac{1}{2}})(x-x_{i-\frac{1}{2}})dx=
f'(x_{i-\frac{1}{2}})
\int_{x_{i-1}}^{x_i}
(x-x_{i-\frac{1}{2}})dx=0,$

поскольку $ x_{i-\frac{1}{2}}$  -- середина отрезка интегрирования в этом интеграле. Получаем тогда, что

$\displaystyle \Bigl\vert\int_{x_{i-1}}^{x_i}(f(x)-f(x_{i-\frac{1}{2}}))\;dx\Big...
...{2}\int_{x_{i-1}}^{x_i}f''(\wt x)(x-x_{i-\frac{1}{2}})^2\;dx\Bigr\vert\leqslant$    
$\displaystyle \leqslant 
 \frac{M_2}{2}\int_{x_{i-1}}^{x_i}(x-x_{i-\frac{1}{2}}...
...{M_2}{6}(x-x_{i-\frac{1}{2}})^3\Bigl\vert _{x_{i-1}}^{x_i}=\frac{M_2}{24}h_i^3,$    

где $ h_i=x_i-x_{i-1}$ . Таким образом, суммируя по всем отрезкам разбиения, получаем оценку ошибки:

$\displaystyle \vert{\varepsilon}_R\vert\leqslant \frac{M_2}{24}\sum_{i=1}^nh_i^3.$

Если все отрезки разбиения имеют одинаковую длину $ h_i=h=\frac{\textstyle{b-a}}{\textstyle{n}}$ , то получаем

$\displaystyle \vert{\varepsilon}_R\vert\leqslant
\frac{M_2}{24}nh^3=
\frac{M_2}{24}(nh)\cdot h^2=
\frac{M_2(b-a)}{24}\cdot h^2,
$

или

$\displaystyle \vert{\varepsilon}_R\vert\leqslant
\frac{M_2}{24}nh^3=
\frac{M_2}{24}\cdot\frac{n^3h^3}{n^2}=
\frac{M_2(b-a)^3}{24}\cdot\frac{1}{n^2}.
$

Следовательно, при уменьшении вдвое шага разбиения $ h$ , то есть при удвоении числа шагов $ n$ , оценка возможной ошибки уменьшается вчетверо, а при уменьшении шага в 10 раз оценка ошибки уменьшается в $ 10^2=100$ раз. Квадратурную формулу, обладающую таким свойством ошибки, называют формулой второго порядка точности. Итак, формула центральных прямоугольников -- формула второго порядка точности.

Покажем, что формула трапеций также имеет второй порядок точности.

Рассмотрим снова рис. 5.5.. Прямая, соединяющая концы хорды графика, то есть точки $ (x_{i-1};f(x_{i-1}))$ и $ (x_i;f(x_i))$ , имеет уравнение

$\displaystyle y=l_i(x)=f(x_{i-1})\frac{x_i-x}{x_i-x_{i-1}}+f(x_i)\frac{x-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}.$

Действительно, это равенство задаёт линейную функцию, и легко проверить, что $ l_i(x_{i-1})=f(x_{i-1})$ и $ l_i(x_i)=f(x_i)$ . Разность между площадью под графиком функции на отрезке $ [x_{i-1};x_i]$ и площадью трапеции $ S_i$ равняется тогда

$\displaystyle \int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)\;dx-\frac{1}{2}(f(x_{i-1})+f(x_i))(x_i-x_{i-1})=
\int_{x_{i-1}}^{x_i}(f(x)-l_i(x))\;dx.$

Докажем, что стоящая под знаком последнего интграла разность удовлетворяет оценке

$\displaystyle \vert f(x)-l_i(x)\vert\leqslant \frac{M_2}{2}(x-x_{i-1})(x_i-x)$

при всех $ x\in[x_{i-1};x_i]$ . Эта оценка получается как следствие такой теоремы.

        Теорема 5.1 (о погрешности линейной интерполяции)   Пусть $ f(x)$  -- функция, имеющая на отрезке $ [{\alpha};{\beta}]$ непрерывную вторую производную $ f''(x)$ , а $ l(x)$  -- линейная функция, такая что $ l({\alpha})=f({\alpha});\ l({\beta})=f({\beta})$ . Назовём функцию $ l(x)$ линейной интерполирующей функцией для $ f(x)$ на $ [{\alpha};{\beta}]$ , а разность $ r(x)=f(x)-l(x)$ погрешностью линейной интерполяции.

Тогда найдётся такая точка $ \xi\in[{\alpha};{\beta}]$ , что


        Доказательство.     Очевидно, что при $ x={\alpha}$ и $ x={\beta}$ равенство (5.1) выполняется, как бы ни была выбрана точка $ \xi$ , поскольку и левая, и правая части равенства обращаются тогда в ноль. Пусть теперь точка $ x=\ov x$ не совпадает ни с $ {\alpha}$ , ни с $ {\beta}$ . Рассмотрим вспомогательную функцию

$\displaystyle g(x)=f(x)-l(x)-k(x-{\alpha})(x-{\beta}),$

зависящую от параметра $ k$ , и выберем значение $ k$ так, чтобы было выполнено равенство $ g(\ov x)=0$ . Легко видеть, что для этого нужно взять $ k=\frac{\textstyle{f(\ov x)-l(\ov x)}}{\textstyle{(\ov x-{\alpha})(\ov x-{\beta})}}.$ Тогда

$\displaystyle r(\ov x)=f(\ov x)-l(\ov x)=k(\ov x-{\alpha})(\ov x-{\beta}).$

Функция $ g(x)$ обращается в 0 в трёх точках: $ {\alpha},\ {\beta}$ и $ \ov x$ . Значит, по теореме Ролля, её производная $ g'(x)$ обращается в 0 в каких-то двух точках $ {\alpha}_1\in({\alpha};\ov x)$ и $ {\beta}_1\in(\ov x;{\beta})$ . Применяя снова теорему Ролля, теперь уже к производной $ g'(x)$ на отрезке $ [{\alpha}_1;{\beta}_1]$ , получаем, что $ g''(x)$ обращается в 0 в некоторой точке $ \xi\in({\alpha}_1;{\beta}_1)$ . Однако функцию $ g''(x)$ легко вычислить:

$\displaystyle g''(x)=f''(x)-l''(x)-k((x-{\alpha})(x-{\beta}))''=f''(x)-2k,$

так как вторая производная линейной функции $ l$ равна 0. Таким образом, $ k=\frac{1}{2}f''(\xi)$ , и

$\displaystyle r(\ov x)=\frac{1}{2}f''(\xi)(\ov x-{\alpha})(\ov x-{\beta}).$

Остаётся заметить, что точка $ \ov x$ выбиралась как произвольная точка интервала $ ({\alpha};{\beta})$ , и доказательство завершено.     

Возвращаемся к изучению ошибки формулы трапеций и связанным с этим обозначениям.

        Следствие 5.1   При $ x\in[x_{i-1};x_i]$ имеет место оценка

$\displaystyle \vert f(x)-l_i(x)\vert\leqslant \frac{M_2}{2}(x-x_{i-1})(x_i-x).$

        Доказательство.     Применим формулу (5.1) к функции $ g=f$ и отрезку $ {[{\alpha};{\beta}]=[x_{i-1};x_i]}$ и получим:

$\displaystyle \vert f(x)-l_i(x)\vert=\frac{1}{2}\vert f''(\xi)\vert \vert(x-x_{i-1})(x-x_i)\vert\leqslant
\frac{1}{2}M_2(x-x_{i-1})(x_i-x).$

Здесь мы заметили, что $ x_{i-1}$ и $ x_i$  -- корни квадратного трёхчлена $ (x-x_{i-1})(x-x_i)$ , так что на отрезке между корнями квадратный трёхчлен не больше нуля, и поэтому

$\displaystyle (x-x_{i-1})(x-x_i)=-(x-x_{i-1})(x-x_i)=(x-x_{i-1})(x_i-x).$

    

Ошибку на $ i$ -м отрезке разбиения мы можем теперь оценить так:

$\displaystyle \Bigl\vert\int_{x_{i-1}}^{x_i}(f(x)-l_i(x))\;dx\Bigr\vert\leqslan...
...{i-1}}^{x_i}\frac{M_2}{2}(x-x_{i-1})(x_i-x)\;dx=
\frac{M_2}{12}(x_i-x_{i-1})^3$

(последний интеграл легко вычисляется).

Просуммируем теперь оценки ошибок на каждом отрезке разбиения и получим оценку ошибки всей квадратурной формулы трапеций:

$\displaystyle \vert{\varepsilon}_T\vert\leqslant \sum_{i=1}^n
\Bigl\vert\int_{...
...{x_i}l_i(x)\;dx\Bigr\vert\leqslant
\frac{M_2}{12}\sum_{i=1}^n(x_i-x_{i-1})^3.$

Если длины всех отрезков разбиения взяты одинаковыми, равными $ h=\frac{\textstyle{b-a}}{\textstyle{n}}$ , то полученная оценка даёт

$\displaystyle \vert{\varepsilon}_T\vert\leqslant
\frac{M_2}{12}nh^3=
\frac{M_2(b-a)}{12}h^2=
\frac{M_2(b-a)^3}{12}\cdot\frac{1}{n^2}.$

Оценки ошибок $ {\varepsilon}_T$ и $ {\varepsilon}_R$ , как мы видим, отличаются ровно в два раза. Выше мы отмечали, что эти ошибки имеют противоположные знаки, если функция $ f''(x)$ сохраняет знак на отрезке интегрирования. Значит, на каждом отрезке знакопостоянства функции $ f''(x)$ ошибки $ \frac{{\varepsilon}_T}{2}$ и $ {\varepsilon}_R$ будут примерно компенсировать друг друга. Подобно тому как мы получили формулу трапеций из формул левых и правых прямоугольников, попробуем получить усреднённую квадратурную формулу, скомбинировав формулы центральных прямоугольников и трапеций; при этом нас подогревает надежда на то, что новая формула будет иметь существенно меньшую ошибку. Умножая $ I_R$ на $ \frac{1}{2}$ , для того чтобы уравновесить ошибки противоположных знаков, получаем:

$\displaystyle I\approx I_{RT}=\frac{2}{3}(I_R+\frac{1}{2}I_T).$

Преобразуем полученную квадратурную формулу, рассмотрев, из каких слагаемых состоит её правая часть. Величины, соответствующие приближённым значениям интеграла по отрезку разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ , дают

$\displaystyle \frac{2}{3}\Bigl(f(x_{i-\frac{1}{2}})+\frac{1}{4}\bigl(f(x_{i-1})...
...igl)=
 \frac{1}{6}f(x_{i-1})+\frac{2}{3}f(x_{i-\frac{1}{2}})+\frac{1}{6}f(x_i)=$    
$\displaystyle =\frac{1}{6}\bigl(f(x_{i-1})+4f(x_{i-\frac{1}{2}})+f(x_i)\bigr).$    

Суммируя эти величины по всем отрезкам разбиения, получаем квадратурную формулу:


Ниже мы увидим, что эта формула в точности совпадает с формулой Симпсона.