‹-- Назад

Примеры и задачи

        Пример 4.18   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-ax}dx,$

где $ a>0$  -- постоянная.

Имеем:

$\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-ax}dx=-\frac{1}{a}e^{-ax}\Bigr\vert _0^{+\infty}=
0-(-\frac{1}{a})=\frac{1}{a}.$

При этом подстановка $ +\infty$ в функцию $ -\frac{1}{a}e^{-ax}$ означает вычисление предела

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(-\frac{1}{a}e^{-ax})=0.$

Ответ: $ \int\limits_0^{+\infty}e^{-ax}dx=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{a}}.$     

        Пример 4.19   Исследуем сходимость интеграла

$\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{2x+\sqrt[3]{x^2+1}+5}.$

Заметим, что подынтегральная функция принимает на промежутке $ [1;+\infty)$ положительные значения.

При $ x\to+\infty$ ведущим слагаемым в знаменателе будет $ 2x$ , поскольку при больших $ x$ имеем $ \sqrt[3]{x^2+1}\sim\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}\ll2x$ . Поскольку $ \int\limits_1^{+\infty}\frac{\textstyle{dx}}{\textstyle{2x}}$ расходится, для исходного интеграла нужно доказывать расходимость.

Найдём дробь с большим знаменателем, чем у подынтегральной дроби, и тем же числителем, так чтобы знаменатель был линейной функцией от $ x$ :

$\displaystyle 2x+\sqrt[3]{x^2+1}+5\leqslant 2x+\sqrt[3]{x^2+2x+1}+5=
2x+(x+1)^{\frac{2}{3}}+5\leqslant 2x+(x+1)+5=3x+6,$

при всех $ x\geqslant 1$ . Значит,

$\displaystyle \frac{1}{2x+\sqrt[3]{x^2+1}+5}\geqslant \frac{1}{3x+6}.$

Рассмотрим интеграл от меньшей функции:

$\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{3x+6}=\frac{1}{3}\ln\vert x+2\vert\Bigl\vert _1^{+\infty}=\infty,
$

поскольку $ \ln(x+2)\to+\infty$ при $ x\to+\infty$ . Значит, интеграл от большей функции расходится, а по теореме сравнения тогда расходится и исходный интеграл -- от меньшей функции.