‹-- Назад

Свойства несобственных интегралов второго рода

Свойства несобственных интегралов второго рода, по сути дела, повторяют свойства несобственных интегралов первого рода: меняется лишь база предела, задающего несобственный интеграл, с $ b_1\to+\infty$ для интеграла

$\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\;dx=\lim_{b_1\to+\infty}\int_a^{b_1}f(x)\;dx$

на $ b_1\to b$ для интеграла от функции с особенностью в точке $ b$ :

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=\lim_{b_1\to b}\int_a^{b_1}f(x)\;dx.$

Поэтому, пояснив происходящее доказательством одного из свойств, мы оставляем прочие свойства несобственных интегралов второго рода читателю в качестве упражнения и приводим одни лишь формулировки этих свойств.

Итак, приводим одно из свойств с доказательством.

        Теорема 4.5   Пусть фиксированы числа $ a,b\in\mathbb{R}$ и функция $ f(x)$ интегрируема на любом отрезке $ [a;b_1]$ , где $ b_1\in[a;b)$ , и имеет особенность в точке $ b$ . Тогда если несобственный интеграл $ \int\limits_a^bf(x)\;dx$ сходится, то при любом $ a_1\in[a;b)$ сходится интеграл $ \int\limits_{a_1}^bf(x)\;dx$ . Обратно, если при некотором $ a_1\in[a;b)$ сходится интеграл $ \int\limits_{a_1}^bf(x)\;dx$ , то сходится и интеграл $ \int\limits_a^bf(x)\;dx$ .

        Доказательство.     Докажем, что из сходимости $ \int\limits_a^bf(x)\;dx$ следует сходимость $ \int\limits_{a_1}^bf(x)\;dx$ при $ a_1\in[a;b)$ . Из аддитивности интеграла следует, что при любом $ b_1\in[a;b)$ имеет место равенство


Переходя в этом равенстве к пределу при $ b_1\to b-$ , получаем:

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>86 \int\limits_{a_1}^bf(x)\;dx=
 \int\limits_a^bf(x)\;dx-
 \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx,$    

причём несобственный интеграл в правой части сходится по условию теоремы, а интеграл $ \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx$  -- постоянное слагаемое. Значит, предел, задающий интеграл $ \int\limits_{a_1}^bf(x)\;dx$ , существует и равен $ \int\limits_a^bf(x)\;dx-
\int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx$ .

Докажем второе утверждение теоремы, используя формулу (4.4*). По условию теоремы интеграл по отрезку $ [a;a_1]$ , не содержащему особенностей функции, существует, так что при любом $ b_1\in[a_1;b)$ из формулы (4.4*) получаем:

$\displaystyle \int\limits_{a}^{b_1}f(x)\;dx=
 \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx+
 \int\limits_{a_1}^{b_1}f(x)\;dx.$    

Перейдём к пределу при $ b_1\to b-$ и получим, что

$\displaystyle \int\limits_{a}^bf(x)\;dx=
 \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx+
 \int\limits_{a_1}^bf(x)\;dx.$    

    

        Замечание 4.6   Доказанное свойство говорит о том, что свойство несобственного интеграла второго рода быть сходящимся -- это свойство, связанное с поведением функции в окрестности той точки, где функция имеет особенность. Поведение функции вдали от особенности никак не сказывается на факте сходимости (или расходимости) интеграла, хотя при переопределении значений функции на отрезке, не захватывающем эту особенность, значение интеграла, конечно, может измениться.     

Дальнейшие свойства мы приводим без доказательства.

        Теорема 4.6 (теоpема сpавнения)   Пусть даны две функции $ f(x)$ и $ g(x)$ , заданные на $ [a;b)$ и имеющие особенность в точке $ b$ , причём при всех $ x\in[a;b)$ выполняется неравенство

$\displaystyle 0\leqslant f(x)\leqslant g(x).$

Тогда из сходимости интеграла от большей функции следует сходимость интеграла от меньшей функции, причём


а из расходимости интеграла от меньшей функции, следует расходимость интеграла от большей функции:

$\displaystyle \int\limits_a^bf(x)\;dx=\infty\quad\Longrightarrow \quad
\int\limits_a^bg(x)\;dx=\infty.$

    

        Замечание 4.7   Как и в случае несобственных интегралов первого рода, требовать выполнения неравенств $ 0\leqslant f(x)\leqslant g(x)$ в условии теоремы 4.6 достаточно не для всех $ x\in[a;b)$ , а начиная лишь с некоторого $ a_1>a$ , и заключение теоремы останется верным (за исключением выполнения неравенства (4.5)).     

Теорему 4.6 можно использовать для исследования сходимости интегралов, не вычисляя их значений. Для доказательства сходимости интеграла от функции $ f(x)\geqslant 0$ $ \int_a^bf(x)dx$ достаточно найти более простую функцию $ g(x)\geqslant f(x)$ , для которой интеграл $ \int_a^bg(x)dx$ легко вычисляется и даёт конечное значение. Согласно теореме 4.6, исходный интеграл тогда тоже сходится.

Если же нам нужно доказать расходимость интеграла $ \int_a^{+\infty}f(x)dx$ , то достаточно найти такую функцию $ g(x)\geqslant 0$ , что $ g(x)\leqslant f(x)$ и расходимость интеграла $ \int_a^{+\infty}g(x)dx$ легко проверяется.

Для многих примеров при доказательстве сходимости или расходимости интеграла естественно сравнивать подынтегральную функцию с функцией $ Y(p)$ или $ Y_-(p)$ (см. выше их определение и исследование сходимости задающих их интегралов).

        Пример 4.12   Исследуем сходимость несобственного интеграла

$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x^8+x}.$

Подынтегральная функция на промежутке интегрирования имеет единственную особенность при $ x=0$ , из-за которой рассматриваемый интеграл является несобственным. При значениях $ x$ , близких к 0 (которые, вследствие замечания 4.7, только и важны для сходимости интеграла), $ x^8\ll x$ , так что подынтегральная функция $ f(x)=\frac{1}{x^8+x}$ ведёт себя при $ x\to0+$ так же, как $ g(x)=\frac{1}{x}$ , причём очевидно, что обе функции на промежутке $ (0;1]$ положительны.

Интеграл от функции $ g(x)$ расходится, поскольку $ p=1$ . Это показывает нам, что для исходного интеграла $ \int_0^1\frac{dx}{x^8+x}$ нужно доказывать расходимость. Однако для функции $ g(x)$ не выполнено неравенство $ f(x)\geqslant g(x)$ , поскольку знаменатель дроби $ f(x)$ , то есть $ x^8+x$ , больше знаменателя дроби $ g(x)$ , равного $ x$ , если $ x\in(0;1]$ . Поэтому вместо функции $ g(x)=\frac{1}{x}$ рассмотрим другую функцию, $ g_1(x)=\frac{1}{2x}$ ; для неё интеграл, очевидно, также получается расходящимся:

$\displaystyle \int_0^1g(x)\;dx=\int_0^1\frac{dx}{2x}=\infty.$

Проверим выполнение условий теоремы 4.6: поскольку при $ x\in(0;1]$ выполнено неравенство $ x\geqslant x^8$ , то $ x+x^8\leqslant 2x$ и $ \frac{1}{x^8+x}\geqslant \frac{1}{2x}>0$ . Поскольку интеграл от меньшей функции расходится, то расходится и исходный интеграл. от большей функции.     

        Теорема 4.7   Пусть функция $ f(x)$ имеет особенность в точке $ b$ . Если интеграл

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx$

сходится, то сходится также интеграл

$\displaystyle \int_a^b\vert f(x)\vert\;dx,$

причём имеет место неравенство

$\displaystyle \Bigl\vert\int_a^bf(x)\;dx\Bigr\vert\leqslant \int_a^b\vert f(x)\vert\;dx.$

    

        Определение 4.8   Пусть функция $ f(x)$ обладает теми же свойствами, что в предыдущей теореме.

Если несобственный интеграл $ \int_a^b\vert f(x)\vert\;dx$ сходится, то несобственный интеграл $ \int_a^bf(x)\;dx$ называется абсолютно сходящимся.

Если несобственный интеграл $ \int_a^b\vert f(x)\vert\;dx$ расходится, а несобственный интеграл $ \int_a^bf(x)\;dx$ сходится, а несобственный интеграл $ \int_a^bf(x)\;dx$ называется условно сходящимся.     

Предыдущая теорема означает, что любой абсолютно сходящийся интеграл является сходящимся.

        Теорема 4.8   Пусть для функции $ f(x)$ , имеющей особенность в точке $ x=b$ и интегрируемой на любом отрезке $ [a;b_1]$ , где $ b_1\in[a;b)$ , существует мажоранта $ g(x)$ на $ [a;b)$ , причём несобственный интеграл $ {J=\int_a^bg(x)\;dx}$ сходится. Тогда несобственный интеграл $ {I=\int_a^bf(x)\;dx}$ тоже сходится, и $ \vert I\vert\leqslant J$ .     

        Пример 4.13   Рассмотрим несобственный интеграл

$\displaystyle \int_0^a\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\frac{1}{x^2}dx,$

где $ a>0$  -- произвольное число. Функция $ g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ , очевидно, служит мажорантой для функции $ f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\frac{1}{x^2}$ на $ (0;a]$ , так как $ \vert\sin x\vert\leqslant 1$ . Поскольку интеграл от мажоранты

$\displaystyle \int_0^a\frac{dx}{\sqrt{x}}$

сходится, так как показатель $ p=\frac{1}{2}<1$ (вычислите значение этого интеграла), то исходный интеграл

$\displaystyle \int_0^a\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\frac{1}{x^2}dx$

также является сходящимся.     

        Пример 4.14   Рассмотрим несобственный интеграл

$\displaystyle \int_0^1\frac{1}{x^2}\sin\frac{1}{x^2}dx.$

Функция $ g(x)=\frac{1}{x^2}$ служит мажорантой для подынтегральной функции $ f(x)=\frac{1}{x^2}\sin\frac{1}{x^2}$ на $ (0;1]$ , но поскольку интеграл от мажоранты $ \int_0^1\frac{dx}{x^2}$ расходится, так как показатель $ p=2>1$ , то относительно сходимости или расходимости исходного интеграла отсюда ничего не следует (однако наводит нас на мысль, что, по-видимому, нужно доказывать расходимость исходного интеграла).

Найдём другую функцию $ g_1(x)$ , которая была бы меньше подынтегральной, неотрицательна и давала бы расходящийся интеграл. Поскольку при $ x\in(0;1]$ имеет место неравенство

$\displaystyle \sin x\geqslant x\cdot\sin1$

(см. рис.),

Рис.4.9.



то возьмём в качестве функции $ g_1(x)$ такую:

$\displaystyle g_1(x)=\frac{x\sin1}{x^2}=\frac{\sin1}{x}.$

Интеграл

$\displaystyle \int_0^1g_1(x)\;dx=\int_0^1\sin1\frac{dx}{x},$

очевидно, расходится (показатель степени знаменателя равен 1), и имеет место неравенство

$\displaystyle 0\leqslant g_1(x)\leqslant f(x)$

при всех $ x\in(0;1]$ . Значит, исходный интеграл (от большей функции) также расходится.     

Заметим, что для некоторых несобственных интегралов удобно подобранная замена переменного превращает их в обычные, собственные интегралы.

        Пример 4.15   В несобственном интеграле второго рода

$\displaystyle \int_0^4\frac{\cos(x^2)}{\sqrt{x}}dx$

сделаем замену $ x=t^2$ . Тогда для нового переменного получим собственный интеграл:

$\displaystyle \int_0^4\frac{\cos(x^2)}{\sqrt{x}}dx=
\left\vert\begin{array}{l}...
...ay}\right\vert=
\int_0^2\frac{\cos(t^4)}{t}\cdot2t\;dt=2\int_0^2\cos(t^4)\;dt.$

Подынтегральная функция в правой части уже не имеет никаких особенностей на отрезке интегрирования.     

В некоторых случаях свести несобственный интеграл к собственному удаётся и другими приёмами. В примере, разобранном только что, мы могли бы проинтегрировать по частям и тоже получить в правой части собственный интеграл:

$\displaystyle \int_0^4\frac{\cos(x^2)}{\sqrt{x}}dx=
 \left\vert\begin{array}{l}...
...rt=
 2\sqrt{x}\cos(x^2)\Bigr\vert _0^1-
 4\int_0^4x^{\frac{3}{2}}\sin(x^2)\;dx=$    
$\displaystyle =2\cos1-4\int_0^4x^{\frac{3}{2}}\sin(x^2)\;dx.$    

Функция $ x^{\frac{3}{2}}\sin(x^2)$ уже не имеет особенностей на отрезке интегрирования.