‹-- Назад

Несобственные интегралы второго рода

Пусть на полуинтервале $ [a;b)$ задана функция $ f(x)$ , интегрируемая на любом отрезке $ [a;b_1]$ , где $ b_1\in[a;b)$ , однако не интегрируемая на отрезке $ [a;b]$ . В точке $ b$ эта функция может быть вовсе не определена и стремиться к $ \infty$ при $ x\to b-$ , любо вовсе не иметь никакого предела при этой базе. Рассмотрим функцию

$\displaystyle \Phi(b_1)=\int_a^{b_1}f(x)\;dx,$

она определена при $ x\in[a;b)$ . Эта функция $ \Phi(b_1)$ может иметь предел при $ b_1\to b-$ (левосторонний предел). Этот предел мы будем называть значением интеграла от $ f(x)$ по всему полуинтервалу $ [a;b)$ и обозначать в точности как обычный интеграл:

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx.$

Итак, дадим такое определение:

        Определение 4.6   Пусть функция $ f(x)$ удовлетворяет указанным выше условиям на $ [a;b)$ . Несобственным интегралом второго рода назовём тогда интеграл

$\displaystyle I=\int_a^bf(x)\;dx,$

значение $ I$ которого равняется левостороннему пределу

$\displaystyle I=\lim_{b_1\to b-}\int_a^{b_1}f(x)\;dx.$

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения; в этом случае будем условно писать

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=\infty.$

    

Геометрически вычисление несобственного интеграла второго рода представляет собою (при $ f(x)\geqslant 0$ ) исчерпание плошади неограниченной фигуры под графиком функции $ y=f(x)$ над $ [a;b)$ с помощью вычисления плошадей ограниченных фигур, получающихся над отрезком $ [a;b_1]$ , а затем приближением правого конца $ b_1$ к точке $ b$ (см. рис.).

Рис.4.7.



Итак, площадь неограниченной фигуры, изображённой на рисунке, по определению равна значению несобственного интеграла $ \int_a^bf(x)\;dx$ .

        Пример 4.8   Найдём площадь $ S$ фигуры, расположенной под графиком функции $ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ над промежутком $ [0;1)$ . (Заметим, что функция $ f(x)$ не определена при $ \vert x\vert\geqslant 1$ и стремится к $ +\infty$ при $ x\to1-$ , так что указанная фигура -- неограниченная и площадь задаётся несобственным интегралом второго рода (см. рис.):

$\displaystyle S=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$

Рис.4.8.



Возьмём $ b_1\in[0;1)$ и вычислим обычный (собственный) определённый интеграл

$\displaystyle \Phi(b_1)=\int_0^{b_1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$

Имеем по теореме Ньютона - Лейбница:

$\displaystyle \Phi(b_1)=\int_0^{b_1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=
\arcsin x\Bigr\vert _0^{b_1}=\arcsin b_1-\arcsin 0=\arcsin b_1.$

Далее вычисляем предел:

$\displaystyle \lim_{b_1\to1-}\Phi(b_1)=
\lim_{b_1\to1-}\arcsin b_1=\frac{\pi}{2}.$

Поскольку оказалось, что предел существует, то несобственный интеграл сходится, а искомая площадь равна его значению:

$\displaystyle S=\frac{\pi}{2}.$

    

        Замечание 4.4   Как и в случае несобственных интегралов первого рода, часто понимают вычисление предела подстановки $ \Phi(x)\Bigl\vert _a^{b_1}$ как подстановку с верхним предельным значением $ b$ :

$\displaystyle \lim_{b_1\to b-}\Phi(x)\Bigl\vert _a^{b_1}=\Phi(x)\Bigl\vert _a^b,$

имея в виду, что подстановка верхнего предела интегрирования означает переход к левостороннему пределу при $ b_1\to b-$ .

При таком обозначении запись вычисления в предыдущем при=мере выглядит так:

$\displaystyle S=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x\Bigr\vert _0^1=\arcsin1-\arcsin0=
\arcsin1=\frac{\pi}{2}.$

Заметим, что здесь мы, глядя на эти вычисления, могли и не заметить, что вычисляемый интеграл -- несобственный. Это произошло потому, что первообразная $ \arcsin x$ , которую мы использовали для вычисления подстановки, непрерывна слева в точке $ b=1$ .     

        Определение 4.7   Аналогично интегралу по полуинтервалу $ [a;b)$ от функции $ f(x)$ с особенностью в точке $ b$ , определяется несобственный интеграл второго рода от функции $ f$ , имеющей особенность в точке $ a$ полуинтервала $ (a;b]$ :

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=I,$

если существует предел

$\displaystyle I=\lim_{a_1\to a+}\int_{a_1}^bf(x)\;dx.$

В случае существования указанного предела интеграл называется сходящимся, а в случае, когда предел не существует, -- расходящимся.     

        Замечание 4.5   Если сделать замену $ t=-x$ , то несобственный интеграл от функции, имеющей особенность в правом конце промежутка интегрирования, переходит в несобственный интеграл от функции с особенностью в левом конце промежутка, и наоборот (проверьте это утверждение, сделав замену $ t=-x$ в интеграле $ \int_a^bf(x)\;dx$ , где $ f(x)\to\infty$ при $ x\to b-$ ). Поэтому свойства несобственных интегралов второго рода достаточно устанавливать лишь в каком-нибудь одном случае, например, в случае особенности в правом конце промежутка, а свойства интегралов с особенностью функции в левом конце будут получаться очевидными переформулировками.     

        Пример 4.9   Рассмотрим интеграл

$\displaystyle Y(p)=\int_0^1\frac{dx}{x^p}.$

Если $ p>0$ , то подынтегральная функция $ f(x)=\frac{1}{x^p}$ стремится к $ +\infty$ при $ x\to0+$ , так что получается несобственный интеграл второго рода.

Рассмотрим такие случаи:

1) $ 0<p<1$ . Тогда интеграл вычисляется так:

$\displaystyle Y(p)=\int_0^1\frac{dx}{x^p}=\frac{1}{1-p}x^{1-p}\Bigr\vert _0^1=
\frac{1}{1-p}-0=\frac{1}{1-p},$

поскольку при $ p<1$ имеем $ 1-p>0$ и $ 0^{1-p}=0.$

2) $ p=1$ . Тогда

$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x}=\ln\vert x\vert\Bigr\vert _0^1=0-(-\infty)=\infty,$

то есть интеграл расходится, поскольку $ \ln x\to-\infty$ при $ x\to0+$ .

3) $ p>1$ . Тогда

$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x^p}=-\frac{1}{p-1}\frac{1}{x^{p-1}}\Bigr\vert _0^1=
-\frac{1}{p-1}+\infty=\infty,$

и интеграл снова расходится, поскольку $ \frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x^{p-1}}}\to+\infty$ при $ x\to0+$ , если показатель $ p-1>0$ .

Заметим также, что при $ x\leqslant 0$ интеграл не является несобственным: это обычный (то есть собственный) интеграл от непрерывной ограниченной функции. Единственная неприятность получается при $ p=0$ , поскольку тогда подынтегральная функция $ f(x)=x^0$ не определена при $ x=0$ (и тождественно равна 1 при $ x>0$ ). Но мы знаем, согласно одному из свойств определённого интеграла, что значение подынтегральной функции в одной точке можно изменить без изменения значения интеграла. Так что достаточно переопределить значение в 0, положив $ f(0)=1$ и получив собственный интеграл $ \int_0^11\;dx=1.$     

        Пример 4.10   Как частные случаи предыдущего примера, получаем, что

$\displaystyle Y\bigl(\frac{1}{2}\bigr)=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$

(интеграл сходится), а

$\displaystyle Y\bigl(\frac{3}{2}\bigr)=\int_0^1\frac{dx}{x\sqrt{x}}=\infty$

(интеграл расходится).     

        Пример 4.11   Согласно замечанию 4.5, из примера 4.9 следует, что интеграл

$\displaystyle Y_-(p)=\int_{-1}^0\frac{dx}{\vert x\vert^p}$

(с особенностью функции в правом конце) сходится при $ p<1$ и расходится при $ p\geqslant 1$ .