‹-- Назад

Несобственные интегралы первого рода

        Определение 4.1   Предположим, что функция $ f(x)$ задана на бесконечном промежутке вида $ [a;+\infty)$ и интегрируема на любом конечном отрезке $ [a;b]$ , где $ b\in[a;+\infty)$ . Таким образом, мы можем рассмотреть функцию

$\displaystyle \Phi(b)=\int_a^bf(x)\;dx.$

Если эта функция имеет предел $ I=\lim\limits_{b\to+\infty}\Phi(b),$ то число $ I$ называется значением несобственного интеграла первого рода

$\displaystyle I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx,$

а сам интеграл $ \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ называется сходящимся (иными словами, интеграл $ \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ сходится).

Если же предела $ \lim\limits_{b\to+\infty}\Phi(b)$ не существует (например, если $ \Phi(b)\to\infty$ при $ b\to+\infty$ ), то интеграл $ \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.     

Геометрически, в случае $ {f(x)\geqslant 0}$ , величина несобственного интеграла $ {I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx}$ означает, по определению, площадь бесконечно длинной области $ \mathcal{D}$ , лежащей в координатной плоскости между лучом $ {[a;+\infty)}$ на оси $ Ox$ , графиком $ y=f(x)$ и вертикальным отрезком $ {x=a}$ (см. рис.).

Рис.4.1.


Сходящиеся интегралы соответствуют таким областям $ \mathcal{D}$ , площадь которых конечна (хотя сама область $ \mathcal{D}$ неограничена), а расходящиеся (в случае $ f(x)\geqslant 0$ ) -- неограниченным областям с бесконечной площадью. В случае, когда $ \Phi(b)\to\infty$ при $ b\to+\infty$ , часто пишут формально:

$\displaystyle \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx=\infty,$

однако нужно ясно понимать, что эта запись означает расходимость интеграла и отсутствие у него числового значения.

Само определение значения интеграла через предел интегралов по конечным, но увеличивающимся отрезкам означает исчерпание площади $ S=I$ путем учёта все большей её части $ S_b=\int\limits_a^bf(x)\;dx:$ правый вертикальный отрезок, проведённый при $ x=b$ , отодвигается всё дальше и дальше в бесконечность; в пределе будет учтена вся площадь под графиком $ y=f(x)$ (см. рис.).

Рис.4.2.



        Пример 4.1   Вычислим значение интеграла

$\displaystyle \int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+1}\;dx.$

Согласно определению, нам нужно вычислить значение функции

$\displaystyle \Phi(b)=\int\limits_0^b\frac{1}{x^2+1}\;dx,$

а потом вычислить предел

$\displaystyle I=\lim_{b\to+\infty}\Phi(b).$

Итак,

$\displaystyle \Phi(b)=\int\limits_0^b\frac{1}{x^2+1}\;dx=
\mathop{\rm arctg}\nolimits x\Bigl\vert _0^b=\mathop{\rm arctg}\nolimits b$

(напомним, что $ \mathop{\rm arctg}\nolimits 0=0$ ) и

$\displaystyle I=\lim_{b\to+\infty}\mathop{\rm arctg}\nolimits b=\frac{\pi}{2}.$

Получили, что интеграл сходится и его значение таково:

$\displaystyle \int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+1}\;dx=\frac{\pi}{2}.$

Заметим, что тем самым мы вычислили площадь бесконечно длинной области под графиком $ y=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x^2+1}}$ , лежащей над положительной полуосью (см. рис.).

Рис.4.3.



Поскольку рассматриваемая функция $ f(x)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x^2+1}}$  -- чётная, то её график симметричен относительно оси $ Oy$ , так что площадь под графиком левее оси $ Oy$  -- точно такая же, как и площадь правее оси $ Oy$ , то есть тоже равна $ \frac{\textstyle{\pi}}{\textstyle{2}}$ , а площадь под всем графиком (над всей осью $ Ox$ ) естественно считать равной $ \frac{\textstyle{\pi}}{\textstyle{2}}+\frac{\textstyle{\pi}}{\textstyle{2}}=\pi.$     

        Замечание 4.1   Для краткости записи, предел подстановки

$\displaystyle \lim_{b\to+\infty}\Phi(x)\Bigr\vert _a^b=
\lim_{b\to+\infty}\Phi(b)-\Phi(a),$

возникающий при вычислении несобственного интеграла, часто обозначают как

$\displaystyle \Phi(x)\Bigr\vert _a^{+\infty},$

под подстановкой значения $ +\infty$ в функцию $ \Phi(x)$ понимая как раз вычисление предела

$\displaystyle \lim_{b\to+\infty}\Phi(b).$

В этих обозначениях запись вычисления интеграла предыдущего примера будет выглядеть так:

$\displaystyle \int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+1}\;dx=\mathop{\rm arctg}\nol...
... arctg}\nolimits x-\mathop{\rm arctg}\nolimits 0=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}.$

Ниже мы часто будем прибегать к такой укороченной записи.     

        Пример 4.2   Рассмотрим теперь несобственный интеграл

$\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\;dx.$

Проведём вычисления в том же порядке, как в предыдущем примере:

$\displaystyle \Phi(b)=\int_1^b\frac{1}{x}\;dx=\ln\vert x\vert\Bigl\vert _1^b=\ln b;$

далее имеем:

$\displaystyle \lim_{b\to+\infty}\ln b=+\infty,$

то есть $ \ln b\to+\infty$ при $ b\to+\infty$ . Значит, несобственный интеграл $ \int\limits_1^{+\infty}\frac{1}{x}\;dx$ расходится и, следовательно, не имеет никакого числового значения.

Рис.4.4.



Геометрически это означает, что площадь под графиком $ y=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x}}$ , лежащая от 1 до $ +\infty$ , бесконечно велика (несмотря, заметим, на то, что функция $ f(x)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x}}$ убывает и стремится к 0 при $ x\to+\infty$ ; однако это стремление к 0 недостаточно быстрое для того, чтобы интеграл сходился). На рисунке (см. выше) мы пометили это обстоятельство условной записью $ S=\infty$ .     

Аналогично случаю интегрирования по промежутку $ [a;+\infty)$ , уходящему в $ +\infty$ , рассматривается и случай, когда область интегрирования простирается в $ -\infty$ . Дадим в этом случае такое определение:

        Определение 4.2   Предположим, что функция $ f(x)$ задана на бесконечном промежутке вида $ (-\infty;b]$ и интегрируема на любом конечном отрезке $ [a;b]$ , где $ a\in(-\infty;b]$ . Таким образом, мы можем рассмотреть функцию

$\displaystyle \Psi(a)=\int_a^bf(x)\;dx.$

Если эта функция имеет предел

$\displaystyle I=\lim_{a\to-\infty}\Psi(a),$

то число $ I$ называется значением несобственного интеграла первого рода

$\displaystyle I=\int_{-\infty}^bf(x)\;dx,$

а сам интеграл $ \int\limits_{-\infty}^bf(x)\;dx$ называется сходящимся (то есть сходится). Если же предела $ \lim\limits_{a\to-\infty}\Psi(a)$ не существует, то интеграл $ \int\limits_{-\infty}^bf(x)\;dx$ называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.     

Геометрически, в случае неотрицательной подынтегральной функции $ f(x)$ , вычисление несобственного интеграла $ \int\limits_{-\infty}^bf(x)\;dx$ означает нахождение площади бесконечно длинной области $ \mathcal{D}$ , лежащей между осью $ Ox$ и графиком $ y=f(x)$ , левее вертикальной линии $ x=b$ . Условие $ a\to-\infty$ означает, что мы исчерпываем всю площадь, отодвигая всё левее, "в минус бесконечность", линию $ x=a$ , временно ограничивающую рассматриваемую часть области справа (см. рис.).

Рис.4.5.



В интегралах $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ и $ \int\limits_{-\infty}^bf(x)\;dx$ знаки $ +\infty$ и $ -\infty$ называют несобственными концами промежутка интегрирования, или несобственными пределами интегрирования. Данные нами определения означают, что при вычислении несобственных интегралов первого рода нужно "обрезать" несобственный предел некоторым конечным значением ($ b$  или $ a$ ), вычислить определённый интеграл по получившемуся конечному промежутку $ [a;b]$ , а затем устремить в бесконечность конечный предел $ b$ или $ a$ .

Очевидно, что при изменении направления на оси $ Ox$ , то есть при замене $ t=-x$ , интеграл $ \int\limits_a^bf(x)\;dx$ переходит в равный ему интеграл $ \int\limits_{-b}^{-a}f(-t)\;dt$ и, соответственно, после перехода к пределу, несобственный интеграл $ \int\limits_{-\infty}^bf(x)\;dx$ переходит в равный ему интеграл $ \int\limits_{-b}^{+\infty}f(-t)\;dt$ . Таким образом, все свойства интегралов по промежутку $ (-\infty;b]$ повторяют соответствующие свойства интегралов по промежутку $ [a;+\infty)$ , изучением которых можно и ограничиться. Так мы далее и поступим, не разбирая отдельно свойств интегралов вида $ \int\limits_{-\infty}^bf(x)\;dx$ .

Наконец, дадим определение интегралу от функции, заданной на всей числовой оси.

        Определение 4.3   Пусть функция $ f(x)$ определена при всех $ x\in\mathbb{R}$ и интегрируема на любом отрезке $ [a;b]\sbs\mathbb{R}$ . Возьмём произвольное значение $ c\in\mathbb{R}$ (например, $ c=0$ ) и будем считать по определению несобственный интеграл

$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$

равным сумме двух несобственных интегралов по промежуткам $ (-\infty;c]$ и $ [c;+\infty)$ , то есть

$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx=
\int\limits_{-\infty}^cf(x)\;dx+
\int\limits_c^{+\infty}f(x)\;dx.$

Если при этом оба несобственных интеграла в правой части сходятся, то и интеграл $ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$ считается сходящимся, а если хотя бы один из них расходится (при этом неважно, сходится или расходится другой), то и интеграл $ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$ считается расходящимся (тогда он не имеет никакого числового значения).     

Заметим, что в точности в соответствии с этим определением мы поступили выше, когда определяли площадь области, расположенной под всем графиком функции $ {f(x)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x^2+1}}}$ ; эта площадь оказалась равной числу $ \pi$ .

Для корректности данного определения интеграла по всей оси нам следует доказать, что результат не зависит от выбора точки $ c$ , то есть при выборе двух разных точек $ c$  и $ c_1$ определение даёт одно и то же, поскольку


Действительно, пусть $ c<c_1$ . Тогда, при любых конечных $ a<c$ и $ b>c_1$ мы, согласно аддитивности определённого интеграла, имеем:

$\displaystyle \int\limits_{a}^cf(x)\;dx+\int\limits_c^{b}f(x)\;dx=
\int\limits...
..._{c_1}^bf(x)\;dx=
\int\limits_{a}^{c_1}f(x)\;dx+\int\limits_{c_1}^{b}f(x)\;dx.$

Переходя теперь два раза к пределу, сначала при $ b\to+\infty$ , а потом при $ a\to-\infty$ , получаем доказываемую формулу (4.1).

В дальнейшем для облегчения записи того, сходится или расходится несобственный интеграл, мы будем использовать следующие обозначения. Тот факт, что интеграл $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ сходится, будем записывать в виде такого неравенства:

$\displaystyle \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx<\infty,$

а то, что интеграл расходится -- в виде условной записи

$\displaystyle \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx=\infty$

(даже если функция $ \Phi(b)=\int\limits_a^{b}f(x)\;dx$ не стремится к $ \infty$ при $ b\to+\infty$ ). Особенно часто такие обозначения применяются в случае, когда $ f(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in[a;+\infty)$ ; тогда "равенство" $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx=\infty$ отвечает тому факту, что соответствующая область под графиком функции имеет бесконечную площадь.

Аналогичные обозначения мы будем применять и для интегралов по промежуткам вида $ (-\infty;b]$ и по всей оси, а также, в дальнейшем, и для несобственных интегралов второго рода (от неограниченных функций).