‹-- Назад

Примеры и задачи

        Пример 3.6   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x^2+4x+5}.$

Для этого выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат:

$\displaystyle x^2+4x+5=(x^2+4x+4)+1=(x+2)^2+1.$

Затем сделаем замену $ z=x+2$ :

$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x^2+4x+5}=
 \left\vert\begin{array}{l}
 z=x+1\\...
...
 x=0\Ra z=1\\ 
 x=1\Ra z=2
 \end{array}\right\vert=
 \int_1^2\frac{dz}{z^2+1}=$    
$\displaystyle \mathop{\rm arctg}\nolimits z\Bigr\vert _1^2=\mathop{\rm arctg}\n...
...ts 2-\mathop{\rm arctg}\nolimits 1=\mathop{\rm arctg}\nolimits 2-\frac{\pi}{4}.$    

Ответ: $ \int\limits_0^1\frac{\textstyle{dx}}{\textstyle{x^2+4x+5}}=\mathop{\rm arctg}\nolimits 2-\frac{\textstyle{\pi}}{\textstyle{4}}$ .     

        Пример 3.7   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{dx}{x\ln x}.$

Перейдём к новой переменной $ z=\ln x$ :

$\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{dx}{x\ln x}=
\left\vert\begin{array}{l}
z=\ln...
...dz}{e^zz}=\int_1^2\frac{dz}{z}=\ln\vert z\vert\Bigr\vert _1^2=
\ln2-\ln1=\ln2.$

Ответ: $ \int\limits_e^{e^2}\frac{\textstyle{dx}}{\textstyle{x\ln x}}=\ln2.$     

        Пример 3.8   При $ x>0$ вычислим интеграл с переменным верхним пределом:

$\displaystyle F(x)=\int_1^x\frac{1}{t}dt.$

Применяя формулу Ньютона - Лейбница на отрезке между 1 и $ x$ , получаем:

$\displaystyle F(x)=\ln t\Bigr\vert _1^x=\ln x-\ln1=\ln x.$

Согласно геометрическому смыслу интеграла как площади криволинейной трапеции под графиком функции, получаем, что $ \ln x$  -- это площадь заштрихованной области под ветвью гиперболы $ y=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x}}$ (см. рис.):

Рис.3.6.


    

        Пример 3.9   Найдём значение функции

$\displaystyle F(x)=\int_1^x\ln t\;dt.$

Применим формулу интегрирования по частям, взяв $ u=\ln t$ и $ dv=dt$ :

$\displaystyle F(x)=\int_1^x\ln t\;dt
\left\vert\begin{array}{l}
u=\ln t\\
d...
...t_1^xt\cdot\frac{dt}{t}=
x\ln x-\int_1^xdt=x\ln x-t\Bigr\vert _1^x=x\ln x-x+1.$

Ответ:

$\displaystyle F(x)=\int_1^x\ln t\;dt=x\ln x-x+1.$

    

        Пример 3.10   Найдём производную функции

$\displaystyle F(x)=\int_x^{x^2}e^{-t^2}dt.$

Представим интеграл $ F(x)$ в виде

$\displaystyle F(x)=\int_0^{x^2}e^{-t^2}dt-
\int_0^xe^{-t^2}dt=F_1(x)-F_2(x)$

(проверьте, что это так, воспользовавшись свойством аддитивности интеграла). Затем, по теореме о производной интеграла по верхнему пределу, получаем

$\displaystyle F_2'(x)=e^{-x^2}.$

При вычислении производной от $ F_1(x)$ , кроме теоремы о производной интеграла по верхнему пределу $ z=x^2$ , воспользуемся правилом нахождения производной композиции:

$\displaystyle F_1'(x)=(F_1)'_z\cdot z'_x=e^{-z^2}\cdot2x=2xe^{-x^4}.$

В итоге получаем:

$\displaystyle F'(x)=2xe^{-x^4}-e^{-x^2}.$