‹-- Назад

Некоторые приёмы нахождения определённых интегралов

Теперь, после изучения формулы Ньютона - Лейбница, мы можем, в принципе, найти определённый интеграл для любой функции, для которой умеем вычислить неопределённый интеграл, и для этого не нужно никаких дополнительных формул и правил. Однако для уменьшения громоздкости вычисления некоторых интегралов, полезно получить формулы для определённого интеграла в тех случаях, когда приходится применять замену переменного или формулу интегрирования по частям.

Формула замены переменного в определённом интеграле.

        Теорема 3.14   Пусть функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a';b']$ , а функция $ {\varphi}(t)$ имеет непрерывную производную $ {\varphi}'(t)$ на отрезке $ [{\alpha};{\beta}]$ , причём все значения $ x={\varphi}(t)$ при $ t\in[{\alpha};{\beta}]$ принадлежат отрезку $ [a';b']$ , в том числе $ {\varphi}({\alpha})=a$ и $ {\varphi}({\beta})=b$ . Тогда имеет место равенство

$\displaystyle \int_{{\alpha}}^{{\beta}}f({\varphi}(t)){\varphi}'(t)\;dt=\int_a^bf(x)\;dx.$

        Доказательство.     Пусть $ F(x)$  -- некоторая первообразная для $ f(x)$ , так что

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=F(b)-F(a),$

и $ G(t)$  -- некоторая первообразная для $ f({\varphi}(t)){\varphi}'(t)$ , так что

$\displaystyle \int_{{\alpha}}^{{\beta}}f({\varphi}(t)){\varphi}'(t)\;dt=G({\beta})-G({\alpha}).$

Поскольку по теореме о замене переменного в неопределённом интеграле имеет место формула

$\displaystyle \int f({\varphi}(t)){\varphi}'(t)\;dt=\int f(x)\;dx\Bigr\vert _{x={\varphi}(t)},$

то есть

$\displaystyle G(t)=F({\varphi}(t))+C,$

где $ C=\mathrm{const}$ , то при $ t={\beta}$ и $ t={\alpha}$ имеем $ G({\beta})=F({\varphi}({\beta}))+C$ и $ G({\alpha})=F({\varphi}({\alpha}))+C$ , откуда

$\displaystyle G({\beta})-G({\alpha})=F({\varphi}({\beta}))-F({\varphi}({\alpha})).$

Учитывая, что $ {\varphi}({\beta})=b$ и $ {\varphi}({\alpha})=a$ , получаем

$\displaystyle G({\beta})-G({\alpha})=F(b)-F(a),$

а это и есть доказываемая формула замены переменного.     

        Замечание 3.4   Заметим, что доказанная формула, в отличие от формулы замены переменной в неопределённом интеграле, даёт нам возможность после перехода к интегралу от функции новой переменной $ x$ не возвращаться к исходному интегралу от функции переменной $ t$ . После того, как замена сделана, мы можем "забыть", как выглядел исходный интеграл, и продолжать преобразования интеграла от функции новой переменной. Именно на том, что к старой переменной возвращаться не приходится, мы и получаем экономию усилий при применении формулы замены переменной в определённом интеграле, по сравнению с тем, что получилось бы, если бы мы просто нашли первообразную и применили формулу Ньютона - Лейбница.

Обратим ваше внимание на важную особенность формулы: кроме подынтегрального выражения, при замене переменной меняются и пределы интегрирования. Действительно, в интеграле по новой переменной $ x$ должны быть указаны пределы изменения именно $ x$ (то есть $ a$ и $ b$ ), в то время как в исходном интеграле по переменной $ t$ указаны пределы изменения $ t$ (то есть $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ )!

Советы о том, какая замена целесообразна для вычисления того или иного интеграла, -- те же самые, что и при вычислении неопределённых интегралов, так что тут ничего нового изучать не придётся.     

        Пример 3.3   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2t\cos t\;dt.$

Для этого сделаем замену $ x={\varphi}(t)=\sin t$ , откуда $ dx={\varphi}'(t)dt=\cos t\;dt$ . Кроме того, при $ t=0$ имеем $ x=\sin0=0$ , а при $ t=\frac{\pi}{2}$ имеем $ x=\sin\frac{\pi}{2}=1$ . Получаем:

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2t\cos t\;dt=
\left\vert\begin{array}...
...end{array}\right\vert=
\int_0^1x^2dx=\frac{x^3}{3}\Bigr\vert _0^1=\frac{1}{3}.$

    

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла.

        Теорема 3.15   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют на отрезке $ [a;b]$ непрерывные производные $ f'(x)$ и $ g'(x)$ . Тогда имеет место формула

$\displaystyle \int_a^bf(x)g'(x)\;dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^bg(x)f'(x)\;dx.$

    

        Замечание 3.5   Заметим, что эту формулу можно записать в виде

$\displaystyle \int_a^bf(x)g'(x)\;dx=f(x)g(x)\Bigr\vert _a^b-\int_a^bg(x)f'(x)\;dx,$

где выражение

$\displaystyle f(x)g(x)\Bigr\vert _a^b=f(b)g(b)-f(a)g(a)$

называется внеинтегральным членом. Введя обозначения $ u=f(x)$ и $ v=g(x)$ , мы можем переписать формулу интегрирования по частям в более коротком виде:

$\displaystyle \int_a^bu\;dv=uv\Bigr\vert _a^b-\int_a^bv\;du.$

    

        Доказательство теоремы 3.15.     Поскольку из условий теоремы следует, что под знаками интегралов в левой и правой частях равенства стоят непрерывные функции, то к этим интегралам можно применять формулу Ньютона - Лейбница:

$\displaystyle \int_a^bf(x)g'(x)\;dx=F(b)-F(a)$

и

$\displaystyle \int_a^bg(x)f'(x)\;dx=G(b)-G(a).$

Пусть $ F(x)$  -- некоторая первообразная для функции $ f(x)g'(x)$ , а $ G(x)$  -- некоторая первообразная для функции $ g(x)f'(x)$ . Формула интегрирования по частям для неопределённого интеграла, то есть

$\displaystyle \int f(x)g'(x)\;dx=f(x)g(x)-\int g(x)f'(x)\;dx,$

означает, что

$\displaystyle F(x)=f(x)g(x)-G(x)+C,$

где $ C=\mathrm{const}$ . Положим теперь $ x=b$ и $ x=a$ и получим: $ F(b)=f(b)g(b)-G(b)+C$ и $ F(a)=f(a)g(a)-G(a)+C$ , откуда

$\displaystyle F(b)-F(a)=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\bigl(G(b)-G(a)\bigr).$

Но с учётом равенств, полученных выше по формуле Ньютона - Лейбница, это как раз и даёт доказываемую формулу.     

        Замечание 3.6   Советы, в каких случаях целесообразно применять формулу интегрирования по частям, остаются теми же, как в случае вычисления неопределённых интегралов. Выигрыш от применения формулы интегрирования по частям для определённого интеграла по сравнению с предварительным вычислением первообразной по формуле интегрирования по частям для неопределённого интеграла, а затем применением формулы Ньютона - Лейбница получается от того, что мы сразу, при возникновении внеинтегрального члена, можем вычислить подстановку и далее при преобразованиях использовать полученное число вместо выражения, задающего внеинтегральный член.     

        Пример 3.4   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int_0^1x\;e^{2x}dx.$

Выгодно взять $ u=x$ и $ dv=e^{2x}dx$ , так что получаем:

$\displaystyle \int_0^1x\;e^{2x}dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
 u=x\\ 
 dv=e^{2...
...ht\vert=
 x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\Bigr\vert _0^1
 -\int_0^1\frac{1}{2}e^{2x}dx=$    
$\displaystyle =\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2}\int_0^1e^{2x}dx=
 \frac{e^2}{2}-\frac{1}{4}e^{2x}\Bigr\vert _0^1=$    
$\displaystyle =\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}(e^2+1).$    

При этом возникший по дороге внеинтегральный член $ x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\Bigr\vert _0^1$ мы вычислили так:

$\displaystyle x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\Bigr\vert _0^1=
1\cdot\frac{1}{2}e^{2\cdot1}-0\cdot\frac{1}{2}e^{2\cdot0}=\frac{e^2}{2}.$

    

Особенно ясно проявляется указанное в замечании преимущество в том случае, если формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз подряд.

        Пример 3.5   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx,$

применив формулу интегрирования по частям два раза подряд. Имеем:

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
...
...rray}{l}
 u=x\\ 
 dv=\cos x\;dx\\ 
 du=dx\\ 
 v=\sin x
 \end{array}\right\vert=$    
$\displaystyle =\underbrace{x\sin x\Bigr\vert _0^{\frac{\pi}{2}}}_{{}=\frac{\pi}...
...\sin x\;dx=
 \frac{\pi}{2}+\cos x\Bigr\vert _0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}-1.$    

Если бы мы сразу же не вычисляли значения подстановок во внеинтегральных членах, то нам пришлось бы несколько раз при нахождении первообразных выписывать значения этих внеинтегральных членов $ -x^2\cos x$ и $ x\sin x$ , а здесь мы сразу же заменили первую подстановку на 0, а вторую на $ \frac{\pi}{2}$ , что сэкономило некоторое место в записи и наши усилия.