‹-- Назад

Определённый интеграл при произвольном соотношении между нижним и верхним пределами

До сих пор мы ограничивались случаями, когда в интеграле $ \int_a^bf(x)\;dx$ либо $ a<b$ , либо $ a=b$ (в последнем случае считали, что интеграл равен 0). Распространим теперь определение на случай произвольных $ a$ и $ b$ , то есть рассмотрим и случай, когда $ b<a$ . При этом положим

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=-\int_b^af(x)\;dx.$

Интеграл, стоящий в правой части этого равенства, берётся по отрезку $ [b;a]$ , поскольку $ b<a$ , и поэтому имеет смысл предела интегральных сумм и, в случае непрерывной функции $ f(x)$ , может быть вычислен по формуле Ньютона - Лейбница:

$\displaystyle \int_b^af(x)\;dx=F(a)-F(b).$

Но тогда получаем, что

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=-\int_b^af(x)\;dx=-(F(a)-F(b))=F(b)-F(a),$

то есть формула Ньютона - Лейбница сохраняет силу и в случае, когда $ b<a$ . (Заметим, что при $ b=a$ она также верна, поскольку и тогда и $ \int_a^af(x)\;dx$ , и разность $ F(a)-F(a)$ равны 0.)

        Упражнение 3.1   Проверьте, что формулы, выражающие линейность интеграла:

$\displaystyle \int_a^b(C_1f(x)+C_2g(x))dx=C_1\int_a^bf(x)\;dx+C_2\int_a^bg(x)\;dx$

и его аддитивность:

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=\int_a^cf(x)\;dx+\int_c^bf(x)\;dx,$

сохраняются и в случае произвольного расположения точек $ a,b$ и $ c$ . При этом нужно, разумеется, предполагать интегрируемость функций $ f$ и $ g$ на отрезке, включающем в себя все используемые в формуле точки $ a,b$ и $ c$ .

Пусть, например, требуется проверить формулу аддитивности при $ c<a<b$ . Тогда, по теореме об аддитивности определённого интеграла, имеем:

$\displaystyle \int_c^af(x)\;dx+\int_a^bf(x)\;dx=\int_c^bf(x)\;dx.$

Отсюда

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=
\int_c^bf(x)\;dx-\int_c^af(x)\;dx=
\int_a^cf(x)\;dx+\int_c^bf(x)\;dx,$

поскольку, по определению,

$\displaystyle \int_a^cf(x)\;dx=-\int_c^af(x)\;dx.$

Таким образом, формула аддитивности сохраняется при указанном расположении точек $ a,b,c$ .

Остальные случаи рассмотрите самоcтоятельно.