‹-- Назад

Интеграл с переменным верхним пределом

Рассмотрим функцию $ f(x)$ , заданную на отрезке $ [a;b]$ , и предположим, что она интегрируема на отрезке $ [a;b]$ . Тогда при любом $ x\in(a;b]$ эта функция будет интегрируема на отрезке $ [a;x]$ и, следовательно, функция

$\displaystyle \Phi(x)=\int_a^xf(t)\;dt$

определена при всех $ x\in(a;x]$ . При $ x=a$ мы по определению положим её равной 0, то есть будем считать, что $ \int_a^af(t)\;dt=0$ для любой функции $ f$ и точки $ c$ из её области определения. Итак, функция $ \Phi(x)$ равняется значению определённого интеграла с переменным верхним пределом, вычисленного от интегрируемой функции $ f(x)$ , не обязательно непрерывной.

        Теорема 3.11   Функция $ \Phi(x)$ , определённая выше, непрерывна при всех $ x\in[a;b]$ для любой интегрируемой функции $ f$ .

        Доказательство.     Заметим, что если функция $ f(x)$ положительна, то значение $ \Phi(x)$ интерпретируется как площадь под графиком $ y=f(x)$ , лежащая над отрезком $ [a;x]$ . Если дать $ x$ приращение $ h$ , то площадь получит приращение в виде площади полоски, лежащей над отрезком $ [x;x+h]$ (см. рис.).

Рис.3.4.



Эта площадь, вследствие ограниченности интегрируемой функции, мала, если приращение $ h$ мало; это и означает непрерывность функции $ \Phi$ в точке $ x$ .

Проведём теперь более аккуратные рассуждения, не предполагая, что функция принимает положительные значения.

Пусть фиксирована точка $ x\in[a;b)$ и взято такое приращение $ h>0$ , что $ x+h\in(a;b]$ . Пользуясь аддитивностью интеграла, получаем, что

$\displaystyle {\Delta}\Phi(x;h)=\Phi(x+h)-\Phi(x)=\int_x^{x+h}f(t)\;dt.$

Согласно неравенству (3.5),

$\displaystyle \vert{\Delta}\Phi(x;h)\vert\leqslant \int_x^{x+h}\vert f(t)\vert\;dt.$

Но по теореме 3.5 функция $ f(x)$ ограничена, поэтому существует такая постоянная $ C$ , что $ \vert f(t)\vert\leqslant C$ при всех $ t\in[a;b]$ и, в том числе, при $ t\in[x;x+h]$ . Воспользовавшись теоремой об интегрировании неравенства, получаем, что

$\displaystyle \int_x^{x+h}\vert f(t)\vert\;dt\leqslant \int_x^{x+h}C\;dt=Ch,$

откуда

$\displaystyle 0\leqslant \vert{\Delta}\Phi(x;h)\vert\leqslant Ch.$

При $ h\to0+$ получаем по теореме "о двух милиционерах", что $ \vert{\Delta}\Phi(x;h)\vert\to0$ и $ {\Delta}\Phi(x;h)\to0$ , что означает, что функция $ \Phi$ непрерывна справа в любой точке $ x\in[a;b)$ .

Рассматривая аналогично отрезок $ [x-h;x]$ при $ x\in(a;b]$ и $ x-h\in[a;b)$ , получаем, что

$\displaystyle {\Delta}\Phi(x;-h)=\Phi(x)-\Phi(x-h)=-\int_{x-h}^xf(t)\;dt\to0$

при $ h\to0+$ , что означает непрерывность функции $ \Phi$ слева в любой точке $ x\in(a;b]$ .

Тем самым функция $ \Phi$ непрерывна справа в точке $ a$ , непрерывна слева в точке $ b$ и непрерывна (с обеих сторон) в любой точке $ x\in(a;b)$ , что и требовалось доказать.     

        Теорема 3.12   Пусть функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$ и функция $ \Phi(x)$ определена всё той же формулой. Тогда $ \Phi(x)$ имеет производную в любой точке интервала $ (a;b)$ , производную справа в точке $ x=a$ и производную слева в точке $ x=b$ , причём эти производные совпадают со значением функции $ f(x)$ в соответствующей точке:

$\displaystyle (\Phi(x))'=f(x)$ при $\displaystyle x\in(a;b);\ \Phi'_+(a)=f(a)$ и $\displaystyle \Phi'_-(b)=f(b).$

        Доказательство.     Снова рассмотрим приращение $ {\Delta}\Phi(x;h)$ при $ h>0$ , $ x\in[a;b)$ , $ x+h\in(a;b]$ . Поскольку функция $ f(x)$ непрерывна, мы можем применить теорему о среднем к интегралу по отрезку $ [x;x+h]$ :

$\displaystyle {\Delta}\Phi(x;h)=\int_x^{x+h}f(t)\;dt=f(x^*)h,$

где $ x^*$  -- некоторая точка отрезка $ [x;x+h]$ . Получаем, деля на $ h$ :

$\displaystyle \frac{{\Delta}\Phi(x;h)}{h}=f(x^*),$

откуда при $ h\to0+$ из непрерывности $ f(x)$ следует, что

$\displaystyle (\Phi(x))_+'=\lim_{h\to0+}f(x^*)=f(x),$

поскольку $ x^*\to x+$ при $ h\to0+$ . Получили, что правая производная совпадает с $ f(x)$ во всех точках $ x\in(a;b]$ .

Аналогично доказывается, что левая производная $ (\Phi(x))'_-$ совпадает с $ f(x)$ во всех точках $ x\in[a;b).$ Во внутренних точках $ x\in(a;b)$ совпадение производных слева и справа со значением $ f(x)$ означает, что функция $ \Phi(x)$ имеет производную $ \Phi'(x)$ , равную $ f(x)$ .     

Точно так же доказывается, что производная интеграла

$\displaystyle \Psi(x)=\int_x^bf(t)\;dt$

от непрерывной функции $ f(x)$ по переменному нижнему пределу равняется $ -f(x)$ :

$\displaystyle \Psi'(x)=-f(x).$

Равенство $ \Phi'(x)=f(x)$ означает, что функция $ \Phi(x)=\int_a^xf(t)\;dt$ является первообразной для $ f(x)$ на интервале $ (a;b)$ . Другая первообразная -- это, очевидно, функция $ -\Psi(x)$ .

Итак, мы получили важный результат о наличии первообразной у любой непрерывной функции:

        Теорема 3.13   Пусть $ f(x)$  -- непрерывная на интервале $ (a;b)$ функция. Тогда на интервале $ (a;b)$ функция $ f(x)$ имеет некоторую первообразную $ G(x)$ , то есть $ {G'(x)=f(x)}$ при всех $ x\in(a;b)$ .

        Доказательство.     Для доказательства достаточно фиксировать произвольную точку $ c\in(a;b)$ и положить

\begin{displaymath}G(x)=\left\{
\begin{array}{l}
-\Psi(x)=-\int_x^cf(t)\;dt\te...
...i(x)=\int_c^xf(t)\;dt\text{ при }x\in[c;b).
\end{array}\right.\end{displaymath}

При $ x=c$ эти определения не противоречат друг другу, поскольку и та, и другая формулы дают $ \int_c^cf(t)\;dt=0$ .

Нетрудно видеть, что при $ x<c$ получается $ G'(x)=-\Psi'(x)=-(-f(x))=f(x)$ , при $ x>c$ получаем $ G'(x)=\Phi'(x)=f(x)$ . При $ x=c$ производная слева даёт значение $ -\Psi_-'(c)=f(c)$ , а производная справа -- значение $ \Phi'_+(c)=f(c)$ , так что производные слева и справа совпадают и $ G'(c)=f(c)$ , что и завершает доказательство.     

Пусть теперь $ F(x)$  -- произвольная первообразная для непрерывной функции $ f(x)$ , заданной на некотором интервале $ (a_1;b_1)$ , содержащем отрезок $ [a;b]$ . Мы уже проверили, что функция $ G(x)$ , такая что $ G(x)=\Phi(x)=\int_a^xf(t)\;dt$ при $ x\geqslant a$ служит тогда первообразной для $ f(x)$ $ x\in(a_1;b_1)$ , а поскольку любые первообразные для одной и той же функции на заданном интервале могут отличаться лишь постоянным слагаемым, получаем, что

$\displaystyle F(x)=G(x)+C,$

где $ C=\mathrm{const}$ , при всех $ x\in(a_1;b_1)$ , в том числе и при $ x=a$ и $ x=b$ . Получаем $ F(b)=G(b)+C$ и $ F(a)=G(a)+C$ , откуда

$\displaystyle F(b)-F(a)=G(b)-G(a)=G(b)=\int_a^bf(t)\;dt,$

поскольку $ G(a)=\int_a^af(t)\;dt=0.$ Итак, меняя обозначение переменной интегрирования на $ x$ , получаем в итоге формулу


где $ F(x)$  -- произвольная первообразная для функции $ f(x)$ . Эта формула называется формулой Ньютона - Лейбница. Она играет ключевую роль в интегральном исчислении и во всём математическом анализе.

Напомним, что мы получили её в предположении, что функция $ f(x)$ непрерывна. Если функция $ f(x)$ имеет разрыв на отрезке $ [a;b]$ , то разность значений первообразной может не иметь никакого отношения к величине определённого интеграла. Поэтому при применении формулы Ньютона - Лейбница нужно строго следить за законностью этого действия.

Смысл формулы Ньютона - Лейбница (3.6) состоит в том, что для нахождения определённого интеграла $ \int_a^bf(x)\;dx$ нам достаточно теперь найти произвольную первообразную $ F(x)$ для функции $ f(x)$ (напомним, что для этого надо найти неопределённый интеграл) и взять разность значений этой первообразной в концах отрезка, $ F(b)-F(a)$ .

Итак, формула Ньютона - Лейбница устанавливает связь между определённым интегралом от данной функции и первообразной для этой функции, то есть между определённым и неопределённым интегралами. Заметим, что смысл этих двух понятий первоначально совершенно различен: неопределённый интеграл -- это набор функций (первообразных), а определённый интеграл -- это число (равное пределу интегральных сумм).

При вычислениях разность $ F(b)-F(a)$ часто называют подстановкой в функцию $ F(x)$ пределов $ a$ и $ b$ и обозначают $ F(x)\Bigr\vert _a^b$ . Таким образом, по определению,

$\displaystyle F(x)\Bigr\vert _a^b=F(b)-F(a),$

а формулу Ньютона - Лейбница можно записать в виде

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=F(x)\Bigr\vert _a^b.$

        Пример 3.1   Для нахождения значения определённого интеграла

$\displaystyle I=\int_1^3x^2\;dx$

найдём первообразную для подынтегральной функции $ f(x)=x^2$ , вычислив неопределённый интеграл:

$\displaystyle \int x^2\;dx=\frac{x^3}{3}+C.$

Поскольку нас интересует любая первообразная, то мы можем взять $ C=0$ (с тем же успехом могли взять и $ C=1$ , и $ C=-255\frac{1}{3}$ , и т.  п., но вид первообразной при $ C=0$ проще, а постоянные сласаемые всё равно взаимно уничтожатся при вычислении подстановки). Итак, берём $ F(x)=\frac{1}{3}x^3$ и вычисляем подстановку, беря в ней пределы равными пределам интегрирования:

$\displaystyle F(x)\Bigr\vert _1^3=\frac{1}{3}x^3\Bigr\vert _1^3=\frac{1}{3}\cdot3^3-\frac{1}{3}\cdot1^3=
9-\frac{1}{3}=8\frac{2}{3}.$

Получаем, что

$\displaystyle I=\int_1^3x^2\;dx=8\frac{2}{3}.$

    

        Пример 3.2   Найдём определённый интеграл

$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\;dx.$

Поскольку

$\displaystyle \int\cos x\;dx=\sin x+C,$

в качестве первообразной $ F(x)$ можно взять $ \sin x$ (положив $ C=0$ ). Поэтому

$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\;dx=\sin x\Bigr\vert _0^{\frac{\pi}{3}}=
\sin\frac{\pi}{3}-\sin 0=\frac{\sqrt{3}}{2}-0=\frac{\sqrt{3}}{2}.$