‹-- Назад

Свойства определённого интеграла

Из предыдущего может сложиться неверное впечатление, будто для интегрируемости функции на отрезке необходима её непрерывность. Это не так, и интегрируемыми могут быть и разрывные функции (но, конечно, не все). Достаточно широкий класс интегрируемых функций даёт следующая теорема.

        Теорема 3.4   Пусть функция $ f(x)$ монотонна на отрезке $ [a;b]$ , то есть либо не убывает, либо не возрастает на нём. Тогда $ f(x)$ интегрируема на $ [a;b]$ .

        Доказательство.     Разберём случай, когда $ f(x)$ не убывает на отрезке, то есть когда из неравенства $ x_1<x_2$ ( $ x_1,x_2\in[a;b]$ ) следует, что $ f(x_1)\leqslant f(x_2)$ . Если функция постоянна на отрезке $ [a;b]$ , то она непрерывна на нём и, следовательно, интегрируема9. Если же функция не постоянна, то $ f(b)>f(a)$ . Рассмотрим тогда произвольное число $ {\varepsilon}>0$ и возьмём $ {\delta}=\frac{{\varepsilon}}{f(b)-f(a)}$ . Выберем любое разбиение $ X=(x_1;\dots;x_{n-1})$ с диаметром $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)\leqslant {\delta}$ . Тогда нижняя интегральная сумма $ \ul S$ получится, если взять точки разметки $ \ov x_i=x_{i-1}$ , поскольку ввиду неубывания функции она принимает наименьшее значение в левом конце каждого из отрезков разбиения; аналогично, верхняя интегральная сумма $ \ov S$ получится при выборе $ \ov x_i=x_i$ (наибольшее значения принимается в правом конце отрезка $ [x_{i-1};x_i]$ ). Получаем, что

$\displaystyle \ul S\leqslant \wt S(\Xi)\leqslant \ov S,$

где $ \Xi$  -- размеченное разбиение, полученное из $ X$ любым выбором точек разметки $ \ov x_i$ . Интегрируемость функции $ f$ будет доказана, если мы покажем, что $ \ul S$ и $ \ov S$ имеют один и тот же предел $ I$ при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0$ . Заметим, что при любом разбиении $ X$ величины $ \ul S$ ограничены сверху числом $ f(b)(b-a)$ , а величины $ \ov S$ ограничены снизу числом $ {f(a)(b-a)}$ , причём эти границы не зависят от выбора разбиения. Значит, существует точная верхняя грань $ \ul I=\sup\ul S$ и точная нижняя грань $ \ov I=\inf\ov S$ , причём из неравенства $ \ul S\leqslant \ov S$ следует, что $ \ul I\leqslant \ov I$ и

$\displaystyle \ov S-\ul S\geqslant \ov I-\ul I.$

Покажем, что разность $ \ov S-\ul S\leqslant {\varepsilon}$ , если $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)<{\delta}$ . Действительно, поскольку длины отрезков разбиения $ h_i$ меньше $ {\delta}$ ,

$\displaystyle \ov S-\ul S=\sum_{i=1}^n(f(x_i)-f(x_{i-1}))h_i\leqslant 
 \sum_{i=1}^n(f(x_i)-f(x_{i-1})){\delta}=
 {\delta}\sum_{i=1}^n(f(x_i)-f(x_{i-1}))=$    
$\displaystyle ={\delta}(f(b)-f(a))=\frac{{\varepsilon}}{f(b)-f(a)}(f(b)-f(a))={\varepsilon}.$    

Получили, тем самым, что $ \ov I-\ul I\leqslant {\varepsilon}$ . Так как в качестве $ {\varepsilon}$ мы можем выбрать как угодно малое число, а разность $ \ov I-\ul I$ от разбиения (и, следовательно, от выбора $ {\varepsilon}$ ) не зависит, то $ \ov I-\ul I=0$ , то есть $ \ov I=\ul I=I$ . Так как $ 0\leqslant \ov S-I\leqslant {\varepsilon}$ и $ 0\leqslant I-\ul S\leqslant {\varepsilon}$ , то при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0$ будет $ \ov S\to I$ и $ \ul S\to I$ . По теореме "о двух милиционерах" тогда и $ \lim\limits_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\wt S(\Xi)=I$ , что означает интегрируемость функции $ f$ .     

Можно указать также класс функций, ни одна из которых не может быть интегрируемой на отрезке $ [a;b]$ . А именно, имеет место следующее утверждение:

        Теорема 3.5   Пусть функция $ f(x)$ не ограничена на отрезке $ [a;b]$ . Тогда эта функция $ f(x)$ не может быть интегрируемой на $ [a;b]$ , то есть не существует предела интегральных сумм для функции $ f(x)$ при условии $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ . Иными словами, если функция интегрируема, то она ограничена.

        Доказательство.     Фиксируем любое разбиение $ X$ с произвольным диаметром $ d=\mathop{\rm diam}\nolimits (X)$ . Поскольку функция $ f(x)$ не ограничена на отрезке $ [a;b]$ , то она не ограничена хотя бы на одном из отрезков разбиения $ [x_{i_0-1};x_{i_0}]$ . Предположим, что функция не ограничена на этом отрезке сверху (случай неограниченности снизу разбирается совершенно аналогично), и покажем, что тогда интегральную сумму, соответствующую этому разбиению, можно сделать как угодно большой лишь за счёт выбора точки разметки, лежащей на отрезке $ [x_{i_0-1};x_{i_0}]$ . Выберем точки разметки $ \ov x_i$ , лежащие на прочих отрезках разбиения, то есть при $ i\ne i_0$ , и зафиксируем. Тогда эти фиксированные отрезки и точки разметки дадут некоторый фиксированный вклад в интегральную сумму, равный $ s=\sum\limits_{i\ne i_0}f(\ov x_i)h_i.$ Поскольку на оставшемся отрезке деления с номером $ i_0$ и фиксированной длиной $ h_{i_0}$ функция $ f$ неограничена сверху, то для любого, как угодно большого числа $ M$ можно найти такую точку $ \ov x_{i_0}\in[x_{i_0-1};x_{i_0}]$ , что

$\displaystyle s+f(\ov x_{i_0})h_{i_0}>M,$

достаточно взять такую точку $ \ov x_{i_0}$ , что значение функции в ней превышает $ \frac{M-s}{h_{i_0}}$ . Следовательно, при любом, как угодно малом, значении диаметра размеченного разбиения $ \Xi=(X,\ov X)$ , мы можем найти такое размеченное разбиение $ \Xi$ , что интегральная сумма $ \wt S(\Xi)$ , ему соответствующая, будет как угодно велика. Значит, величина $ \wt S(\Xi)$ не ограничена ни на каком окончании $ E_{{\delta}}$ базы $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ и поэтому не может иметь никакого предела при этой базе (как мы знаем, все величины, имеющие предел, локально ограничены при данной базе). Поскольку предела интегральных сумм нет, функция $ f(x)$ не интегрируема на отрезке $ [a;b]$ , что и требовалось доказать.     

        Замечание 3.1   Заметим теперь, что если переопределить значение интегрируемой функции в одной или нескольких точках (в конечном числе точек), то она останется интегрируемой и значение определённого интеграла от неё не изменится.

Действительно, изменение значения в одной точке $ x_0$ либо вовсе не меняет интегральную сумму, либо изменяет одно её слагаемое, если $ x_0$ совпадает с одной из точек разметки $ \ov x_i$ . Но при измельчении разбиения, то есть при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ , вклад слагаемого $ f(\ov x_i)h_i$ , соответствующего отрезку, на котором лежит $ x_0$ , стремится к 0, так как $ h_i\to0$ . Значит, предел $ I=\lim\limits_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S(\Xi)$ не меняется. Если точек $ x_0$ , в которых изменяется значение функции, несколько, то их можно добавлять по одной, что и завершает доказательство утверждения.     

Выясним теперь некоторые общие свойства определённого интеграла $ \int_a^bf(x)\;dx$ . При этом будем предполагать, что функции, стоящие под знаком определённого интеграла, -- интегрируемые.

Линейность интеграла. Пусть $ f(x)$  -- интегрируемая на $ [a;b]$ функция. Докажем формулу, означающую, что постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, а именно, что если $ k=\mathrm{const}$ , то функция $ kf(x)$ интегрируема на $ [a;b]$ и имеет место формула

$\displaystyle \int_a^bkf(x)\;dx=k\int_a^bf(x)\;dx.$

Действительно, если при фиксированном размеченном разбиении составить интегральную сумму $ \wt S_{kf}(\Xi)$ для функции $ kf(x)$ , значения которой в точках разметки равны $ kf(\ov x_i)$ , то можно будет вынести постоянный множитель $ k$ за знак конечной суммы по номеру отрезка $ i$ :

$\displaystyle \wt S_{kf}(\Xi)=\sum_{i=1}^nkf(\ov x_i)h_i=k\cdot
\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i=k\cdot\wt S_f(\Xi),$

где $ S_f(\Xi)$  -- интегральная сумма для функции $ f$ , вычисленная по тому же размеченному разбиению $ \Xi$ . При измельчении разбиения, то есть при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ , левая часть равенства даёт

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_{kf}(\Xi)=\int_a^bkf(x)\;dx,$

а правая часть --

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}k\wt S_{kf}(\Xi)=
k\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_{kf}(\Xi)=
k\int_a^bkf(x)\;dx,$

причём из существования предела в правой части следует существование предела в левой. Здесь мы воспользовались тем, что постоянный множитель можно выносить за знак предела. Поскольку при переходе к пределу равенство сохранится, мы получим доказываемую формулу.

Докажем теперь, что если $ f(x)$ и $ g(x)$  -- интегрируемые на $ [a;b]$ функции, то функция $ f(x)+g(x)$ тоже интегрируема и имеет место формула

$\displaystyle \int_a^b(f(x)+g(x))dx=\int_a^bf(x)\;dx+\int_a^bg(x)\;dx.$

Составим для данного размеченного разбиения $ \Xi$ интегральную сумму для функции $ f(x)+g(x)$ :

$\displaystyle \wt S_{f+g}(\Xi)=\sum_{i=1}^n(f(\ov x_i)+g(\ov x_i))h_i$

и очевидным образом преобразуем её, раскрыв скобки и переставив слагаемые:

$\displaystyle \wt S_{f+g}(\Xi)=\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i+\sum_{i=1}^ng(\ov x_i))h_i=
\wt S_f(\Xi)+\wt S_g(\Xi),$

где $ \wt S_f$  -- интегральная сумма для функции $ f$ , а $ \wt S_g$  -- интегральная сумма для функции $ g$ , составленные по тому же размеченному разбиению $ \Xi$ . Теперь заметим, что равенство сохранится и после предельного перехода при базе $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ , а также что предел суммы равен сумме пределов, если пределы слагаемых существуют:

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_{f+g}(\Xi)=
\li...
...to0}
\wt S_f(\Xi)+
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}
\wt S_g(\Xi).$

По условию, пределы в правой части существуют:

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_f(\Xi)
=\int_a^...
...quad
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_g(\Xi)=\int_a^bf(x)\;dx.$

Поэтому существует и предел в левой части, причём он равен $ \int_a^bf(x)\;dx+\int_a^bf(x)\;dx.$ Осталось заметить, что, по определению, предел левой части даёт $ \int_a^b(f(x)+g(x))dx$ . Итак, получили, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от каждой из этих функций.

Из доказанных свойств интеграла следует, что если $ C_1$ и $ C_2$  -- постоянные, то

$\displaystyle \int_a^b(C_1f(x)+C_2g(x))dx=C_1\int_a^bf(x)\;dx+C_2\int_a^bg(x)\;dx.$

Эта формула означает, что операция вычисления определённого интеграла обладает свойством линейности.

Можно также отметить, что тем самым мы доказали, что множество всех интегрируемых на фиксированном отрезке функций является некоторым линейным пространством $ S_{[a;b]}$ , то есть операции умножения на постоянный множитель и сложения не выводят результирующую функцию из данного множества, а операция $ I:S_{[a;b]}\to\mathbb{R}$ , действующая на элементы $ f\in S_{[a;b]}$ по формуле $ I(f)=\int_a^bf(x)\;dx$  -- это линейная операция:

$\displaystyle I(C_1f+C_2g)=C_1I(f)+C_2I(g),$

где $ f,g\in S_{[a;b]}$  -- произвольные функции, а $ C_1,C_2$  -- постоянные.

Докажем теперь свойство определённого интеграла, называемое его аддитивностью. А именно, предположим, что функция $ f(x)$ интегрируема на отрезках $ [a;c]$ и $ [c;b]$ , где $ a<c<b$ . Тогда $ f(x)$ интегрируема на отрезке $ [a;b]$ , причём

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=\int_a^cf(x)\;dx+\int_c^bf(x)\;dx.$

Действительно, рассмотрим какое-либо размеченное разбиение отрезка $ [a;b]$ , содержащее в качестве одной из точек деления точку $ c=x_m$ . Тогда, очевидно, интегральная сумма $ \wt S$ для $ f$ по отрезку $ [a;b]$ представляется в виде

$\displaystyle \wt S=\sum_{i=1}^mf(\ov x_i)h_i+\sum_{i=m+1}^nf(\ov x_i)h_i,$

причём первая сумма,

$\displaystyle \wt S_1=\sum_{i=1}^mf(\ov x_i)h_i,$

является интегральной суммой для $ f$ по отрезку $ [a;c]$ , соответствующей размеченному разбиению $ \Xi_1$ , заданному точками $ x_1,\dots,x_{m-1}$ и $ \ov x_1,\dots,\ov x_m$ , а вторая,

$\displaystyle \wt S_2=\sum_{i=m+1}^nf(\ov x_i)h_i,$ --

интегральной суммой по отрезку $ [c;b]$ , соответствующей размеченному разбиению $ \Xi_2$ , заданному точками $ x_{m+1},\dots,x_{n-1}$ и $ \ov x_{m+1},\dots,\ov x_n$ . Заметим еще, что при $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_1)=\max\limits_{i=1,\dots,m}h_i\to0}$ и $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_2)=\max\limits_{i=m+1,\dots,n}h_i\to0}$ будет также $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)=\max\limits_{i=1,\dots,n}h_i\to0}$ , так как, очевидно, $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)=\max\{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_1);\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_2)\}}$ . Так что при измельчении разбиений отрезков $ [a;c]$ и $ [c;b]$ разбиение отрезка $ [a;b]$ также будет измельчаться, и наоборот, из условия $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ следует, что $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_1)\to0$ и $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_2)\to0$ . Поэтому

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt...
...iam}\nolimits (\Xi_2)\to0}\wt S_2(\Xi_2)=
\int_a^cf(x)\;dx+
\int_c^bf(x)\;dx.$

        Теорема 3.6   Из интегрируемости функции $ f(x)$ на отрезке $ [a;b]$ следует, что она интегрируема и на любом отрезке $ [a';b']\sbs[a;b]$ .

        Доказательство.     Рассмотрим для любого разбиения $ X$ отрезка $ [a;b]$ то разбиение $ X'$ отрезка $ [a';b']$ , которое получается, если включить в $ X'$ те точки из $ X$ , которые попадают на отрезок $ [a';b']$ . Если $ \ul S(X')$ и $ \ov S(X')$  -- нижняя и верхняя интегральные суммы, соответствующие $ X'$ , то легко видеть, что

$\displaystyle 0\leqslant \ov S(X')-\ul S(X')\leqslant \ov S(X)-\ul S(X).$

Поэтому если функция интегрируема на $ [a;b]$ , то есть суммы $ \ov S(X)$ и $ \ul S(X)$ имеют общий предел при измельчении разбиения, то и суммы $ \ov S(X')$ и $ \ul S(X')$ будут иметь общий предел, так как их разность стремится к 0, причём $ \ov S(X')$ не увеличиваются, а $ \ul S(X')$ не уменьшаются при добавлении дополнительных точек для измельчения разбиения. Наличие общего предела у $ \ov S(X')$ и $ \ul S(X')$ означает интегрируемость $ f(x)$ на $ [a';b']$ .     

Вследствие доказанной теоремы мы можем теперь освободиться в теореме об аддитивности интеграла от требования, чтобы функция была интегрируема на каждом из двух отрезков $ [a;c]$ и $ [c;b]$ , на которые разбивается отрезок $ [a;b]$ : интегрируемость на этих двух отрезках автоматически следует из интегрируемости на $ [a;b]$ . Более того, справедливо следующее замечание.

        Замечание 3.2   Добавляя отрезки по одному, мы получаем такое утверждение: если отрезки $ [a_0;b_0],\ [a_1;b_1],\ \dots,\ [a_m;b_m]$ расположены на оси $ Ox$ один за другим, то есть $ b_0=a_1$ , ..., $ b_{m-1}=a_m$ , и функция $ f(x)$ интегрируема на объединении отрезков $ [a_j,b_j]$ , $ j=0,\dots,m$ , то есть на $ [a_0;b_m]$ , то она интегрируема на каждом из частичных отрезков $ [a_j;b_j]$ , причём

$\displaystyle \int_{a_0}^{b_m}f(x)\;dx=\sum_{j=0}^m\int_{a_j}^{b_m}f(x)\;dx.$

Это равенство также выражает свойство аддитивности определённого интеграла, применительно к разбиению отрезка на конечное число частей.     

Аддитивность в сочетании с утверждением теорем об интегрируемости монотонной и непрерывной функций даёт следующее предложение.

        Теорема 3.7   Рассмотрим функцию $ f(x)$ , заданную на отрезке $ [a;b]$ . Пусть отрезок $ [a;b]$ можно разбить на конечное число частей $ [a_j;b_j]$ , $ j=0,1,2,\dots,m$ , $ a_j=b_{j-1}$ при $ j=0,1,\dots,m-1$ , так что в пределах каждой из частей функция непрерывна либо монотонна на интервале $ (a_j;b_j)$ , а в точках $ a_j=b_{j-1}$ либо непрерывна, либо имеет разрывы первого рода. Тогда функция $ f(x)$ интегрируема на $ [a;b]$ .

        Доказательство.     Согласно свойству аддитивности ( замечание 3.2), достаточно доказать, что функция $ f(x)$ интегрируема на каждом из замкнутых отрезков $ [a_j;b_j]$ . Фиксировав такой отрезок, переопределим, если нужно, функцию $ f(x)$ в двух точках $ a_j$ и $ b_j$ , положив её равной соответственно $ f(a_j)=\lim\limits_{x\to a_j+}f(x)$ и $ f(b_j)=\lim\limits_{x\to b_j-}f(x)$ ; по условию теоремы, оба этих предела существуют. Тогда "исправленная" функция либо непрерывна, либо монотонна на всём отрезке $ [a_j;b_j]$ и, следовательно, интегрируема на $ [a_j;b_j]$ , согласно теоремам 3.3 и 3.4. Но тогда исходная функция, отличающаяся от "исправленной" только лишь, возможно, в двух точках, тоже интегрируема на $ [a_j;b_j]$ , согласно замечанию 3.1. Этим завершается доказательство теоремы.     

Следующее свойство свидетельствует о том, что при интегрировании сохраняется знак неравенства.

        Теорема 3.8   Пусть интегрируемые на отрезке $ [a;b]$ функции $ f(x)$ и $ g(x)$ таковы, что $ f(x)\leqslant g(x)$ при всех $ x\in[a;b]$ . Тогда

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx\leqslant \int_a^bg(x)\;dx.$

        Доказательство.     Рассмотрим любое размеченное разбиение $ \Xi=(X,\ov X)$ . Для любой точки разметки $ \ov x_i$ , лежащей на отрезке разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ длины $ h_i$ , согласно предположению, выполнено неравенство $ f(\ov x_i)\leqslant g(\ov x_i)$ и, следовательно, неравенство $ f(\ov x_i)h_i\leqslant g(\ov x_i)h_i$ , поскольку $ h_i>0$ . Суммируя по всем отрезкам разбиения, получаем

$\displaystyle \wt S_f=\sum\limits_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i\leqslant \sum\limits_{i=1}^ng(\ov x_i)h_i=
\wt S_g,$

то есть интегральные суммы $ \wt S_f$ и $ \wt S_g$ , построенные, соответственно, для функций $ f$ и $ g$ по любому размеченному разбиению $ \Xi$ , связаны тем же знаком неравенства, что и данные функции. Поскольку переход к пределу по базе $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ сохранит знак неравенства, согласно одному из свойств пределов, то получаем, что

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt...
...qslant
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_g=
\int_a^bg(x)\;dx,$

что и требовалось доказать.     

        Следствие 3.1   Пусть на отрезке $ [a;b]$ задана интегрируемая функция $ f(x)$ , причём для всех $ x\in[a;b]$ имеет место неравенство $ m\leqslant f(x)\leqslant M$ , где $ m$ и $ M$  -- некоторые постоянные. Тогда


        Доказательство.     Действительно, из предыдущей теоремы следует, что

$\displaystyle \int_a^bm\;dx\leqslant \int_a^bf(x)\;dx\leqslant \int_a^bM\;dx.$

Выше мы уже замечали, что для любой постоянной $ C$

$\displaystyle \int_a^bC\;dx=C(b-a),$

откуда $ \int_a^bm\;dx=m(b-a)$ и $ \int_a^bM\;dx=M(b-a),$ что и доказывает утверждение следствия.     

Из этого следствия выводится следующая теорема, которая носит название теоремы о среднем:

        Теорема 3.9   Пусть функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$ . Тогда существует такая точка $ x^*\in[a;b]$ , что

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=f(x^*)(b-a).$

        Доказательство.     Заметим для начала, что по теореме 3.3 функция $ f(x)$ интегрируема на $ [a;b]$ , так что интеграл в левой части доказываемого равенства существует. Поскольку функция, непрерывная на отрезке, принимает на нём в некоторых точках $ x_1$ и $ x_2$ своё наименьшее и наибольшее значения $ m=f(x_1)$ и $ M=f(x_2)$ , то $ m=f(x_1)\leqslant f(x)\leqslant f(x_2)=M$ при всех $ x\in[a;b]$ . Согласно неравенству (3.4), величина $ \frac{\int_a^bf(x)\;dx}{b-a}$ удовлетворяет неравенству

$\displaystyle m\leqslant \frac{\int_a^bf(x)\;dx}{b-a}\leqslant M$

и, следовательно, является промежуточным значением между $ f(x_1)$ и $ f(x_2)$ . Но непрерывная функция принимает любое своё промежуточное значение в некоторой точке отрезка, значит, существует такая точка $ x^*\in[a;b]$ , что

$\displaystyle \frac{\int_a^bf(x)\;dx}{b-a}=f(x^*).$

Умножая последнее равенство на $ b-a$ , получаем утверждение теоремы.     

        Теорема 3.10   Пусть функция $ f(x)$ интегрируема на отрезке $ [a;b]$ . Тогда функция $ g(x)=\vert f(x)\vert$ также интегрируема на $ [a;b]$ , причём


        Доказательство.     Докажем сначала, что функция $ g(x)=\vert f(x)\vert$ интегрируема. Пусть $ \ul{y}_i=\inf\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ , $ \ov{y}_i=\sup\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ . $ \ul{z}_i=\inf\limits_{[x_{i-1};x_i]}\vert f(x)\vert$ , $ \ov{z}_i=\sup\limits_{[x_{i-1};x_i]}\vert f(x)\vert$ . Тогда для произвольных $ x',x''\in[x_{i-1};x_i]$ будет

$\displaystyle \vert f(x')\vert-\vert f(x'')\vert\leqslant \vert f(x')-f(x'')\vert\leqslant \ov y_i-\ul y_i,$

откуда

$\displaystyle 0\leqslant \ov z_i-\ul z_i\leqslant \ov y_i-\ul y_i.$

Умножая на $ h_i$ и суммируя по всем отрезкам разбиения, получаем:

$\displaystyle 0\leqslant \sum_{i=1}^n(\ov z_i-\ul z_i)h_i\leqslant
\sum_{i=1}^n(\ov y_i-\ul y_i)h_i.$

Поскольку функция $ f$ интегрируема, правая часть становится меньше любого $ {\varepsilon}>0$ , если разбиение имеет достаточно малый диаметр $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)<{\delta}$ . Тогда для достаточно мелких разбиений и левые части становятся меньше $ {\varepsilon}$ , а значит, предел верхних интегральных сумм совпадает с пределом нижних интегральных сумм для функции $ g=\vert f\vert$ . Следовательно, функция $ g=\vert f\vert$ интегрируема, согласно теореме 3.1.

Неравенство (3.5) докажем так: запишем очевидные неравенства

$\displaystyle f(x)\leqslant \vert f(x)\vert$    и     $\displaystyle -f(x)\leqslant \vert f(x)\vert$

и к каждому из них применим теорему об интегрировании неравенства ( теорема 3.8). Получим, если воспользоваться свойством линейности, согласно которому множитель $ -1$ можно вынести за знак интеграла,

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx\leqslant \int_a^b\vert f(x)\vert\;dx$    и     $\displaystyle -\int_a^bf(x)\;dx\leqslant \int_a^b\vert f(x)\vert\;dx.$

Но эти два неравенства как раз и означают, что выполнено неравенство (3.5).     

        Замечание 3.3   Заметим, что из интегрируемости функции $ \vert f(x)\vert$ не следует интегрируемость функции $ f(x)$ . Чтобы убедиться в этом, рассмотрим функцию Дирихле:

$\displaystyle D(x)=\left\{\begin{array}{rl}
-1,&\text{ если }x\in\mathbb{Q};\\
1,&\text{ если }x\notin\mathbb{Q}.
\end{array}\right.$

(Напомним, что $ \mathbb{Q}$  -- это множество рациональных чисел.) Поскольку при любом разбиении $ [a;b]$ на любом отрезке $ [x_{i-1};x_i]$ найдётся как рациональное, так и иррациональное число, то все верхние суммы равны

$\displaystyle \ov S_D=\sum_{i=1}^n1\cdot h_i=b-a,$

а все нижние суммы равны

$\displaystyle \ul S_D=\sum_{i=1}^n(-1)\cdot h_i=-(b-a).$

Поэтому их пределы при измельчении разбиения не совпадают и, следовательно, функция $ D(x)$ не интегрируема.

С другой стороны, функция $ g(x)=\vert f(x)\vert$ тождественно равна 1. Она интегрируема, как любая постоянная, и определённый интеграл от неё равен, как легко видно, $ b-a$ .