‹-- Назад

Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции

Рассмотрим задачу о нахождении площади плоской области $ \mathcal{D}$ , ограниченной на координатной плоскости $ xOy$ отрезком $ [a;b]$ оси $ Ox$ , графиком непрерывной функции $ y=f(x)>0$ , заданной на отрезке $ [a;b]$ , и двумя отрезками вертикальных прямых $ x=a$ и $ x=b$ , соединяющими точки оси $ Ox$ с точками графика (см. рис.).

Рис.3.1.


Заметим, что если графиком $ y=f(x)$ служит не прямая линия и не окружность, то в школьном курсе математики не было определено, что такое площадь $ S$ заданной области $ \mathcal{D}$ , так что для таких областей $ \mathcal{D}$ мы должны дать определение того, что такое площадь, и это определение должно быть согласовано с тем случаем, когда мы уже знаем, что такое площадь данной фигуры. Эту фигуру $ \mathcal{D}$ мы будем в общем случае называть криволинейной трапецией (считая параллельные вертикальные отрезки $ x=a$ и $ x=b$ её основаниями).

Сначала попробуем найти значение искомой площади приближённо. Для этого разделим область $ \mathcal{D}$ на узкие вертикальные полоски $ \mathcal{D}_1,\ \mathcal{D}_2,\dots,\mathcal{D}_n$ , проведя вертикальные линии $ x=x_1,\ x=x_2,\dots,\ x=x_{n-1}$ ; при этом мы будем считать, что $ {x_0=a<x_1<x_2<\ldots<x_{n-1}<x_n=b.}$ Тогда область $ \mathcal{D}_i$ лежит между прямыми $ x=x_{i-1}$ и $ x=x_i$ , где $ i=1,2,\dots,n$ . Обозначим длины отрезков между такими прямыми через $ h_i$ : $ h_i=x_i-x_{i-1}$ . Очевидно, что площадь $ S_i$ области $ \mathcal{D}_i$ лежит в пределах от $ \ul{S}_i=\ul{y}_ih_i$ до $ \ov{S}_i=\ov{y}_ih_i$ , где $ \ul{y}_i=\min\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ и $ \ov{y}_i=\max\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ (см. рис.), и примерно равна $ \wt S_i=f(\ov{x}_i)h_i$ , где $ \ov{x}_i$  -- произвольная точка отрезка $ [x_{i-1};x_i]$ .

Рис.3.2.


Легко видеть также, что при любом выборе точек $ \ov x_i\in[x_{i-1};x_i]$ мы получаем


Тогда искомая площадь $ S=\sum\limits_{i=1}^nS_i$ приблизительно равна сумме величин $ \wt S_i$ :

$\displaystyle S\approx\sum_{i=1}^n\wt S_i=\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i,$

и лежит между суммой площадей $ \ul S_i$ и $ \ov S_i$ :


Из неравенства (3.1) следует также, что при любом выборе точек $ \ov x_i\in[x_{i-1};x_i]$ получаем


Если все отрезки деления имеют малые длины $ h_i<{\delta}$ , то в силу непрерывности7 функции $ f(x)$ все разности между $ \ov y_i$ и $ \ul y_i$ будут также малы. Точнее говоря, для любого, как угодно малого $ {\varepsilon}>0$ можно найти такое $ {\delta}>0$ , что при $ h_i<{\delta}$ будет $ \ov y_i-\ul y_i<{\varepsilon}$ при всех $ i=1,\dots,n$ . Значит, разница между правой и левой частями в (3.2) и (3.3) будет меньше, чем $ {\varepsilon}(h_1+h_2+\ldots+h_n)={\varepsilon}(b-a).$ Поскольку при $ {\varepsilon}\to0+$ эта величина, очевидно, стремится к 0, то левые и правые части неравенств (3.2) и (3.3) имеют общий предел, который в силу (3.2) равен $ S$ . По теореме "о двух милиционерах" величина $ \wt S=\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i$ также имеет пределом число $ S$  -- искомую площадь области $ \mathcal{D}$ .

Теперь заметим, что составить сумму $ \wt S=\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i$ мы можем не только для положительной непрерывной функции, но для произвольной функции $ f(x)$ , заданной на $ [a;b]$ .

Разберёмся теперь с тем, от какой величины и при каком условии вычисляется упомянутый предел, то есть какова база предела. Величина $ \wt S$ зависит, в силу своего определения, во-первых, от выбора точек, которые делят на части отрезок $ [a;b]$ , то есть от набора точек $ X=(x_1;x_2;\dots;x_{n-1})$ , где $ a<x_1<x_2<\dots<x_{n-1}<b$ , а также от выбора промежуточных точек, в которых вычисляются значения функции, то есть набора точек $ \ov X=(\ov x_1;\ov x_2;\dots,\ov x_n)$ , где $ \ov x_i\in[x_{i-1};x_i]$ . Наборы $ X$ и $ \ov X$ задают размеченное разбиение отрезка $ [a;b]$ : точки $ x_i$ задают разбиение, а точки $ \ov x_i$  -- разметку этого разбиения. Итак, при фиксированной функции $ f$ величина $ \wt S$ зависит от размеченного разбиения $ \Xi=(X,\ov X)$ :

$\displaystyle \wt S=\wt S(X;\ov X)=\wt S(\Xi).$

Величина $ \wt S$ называется интегральной суммой, построенной для функции $ f$ на отрезке $ [a;b]$ по размеченному разбиению $ \Xi$ ; интегральная сумма является функцией от размеченного разбиения и определена на множестве всех размеченных разбиений $ \Xi$ .

Величина, равная длине самого большого из отрезков разбиения $ X$ , называется диаметром разбиения; то же относится и к размеченному разбиению $ \Xi$ . Диаметр размеченного разбиения $ \Xi=(X,\ov X)$ будем обозначать $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)$ или $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)$ . Итак,

$\displaystyle \mathop{\rm diam}\nolimits (X)=\max(x_i-x_{i-1})=\max h_i.$

Если длина каждого из отрезков разбиения меньше некоторого числа $ {\delta}>0$ , то это означает, что $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)<{\delta}$ .

Рассмотрим множество всех размеченных разбиений отрезка $ [a;b]$ . При любом значении $ {\delta}>0$ существуют разбиения с диаметром, меньшим $ {\delta}$ . Достаточно, например, поделить отрезок на $ n$ равных частей, взяв достаточно большое число этих частей: $ n>\frac{b-a}{{\delta}}.$ Значит, множество $ E_{{\delta}}$ размеченных разбиений с диаметром, меньшим $ {\delta}$ , не пусто при любом $ {\delta}>0$ .

Если взять два значения $ {\delta}$ , скажем, $ 0<{\delta}_1<{\delta}_2$ , то очевидно, что каждое разбиение диаметра меньше $ {\delta}_1$ , одновременно имеет диаметр меньше $ {\delta}_2$ , так что $ E_{{\delta}_1}\sbs E_{{\delta}_2}$ , если $ {\delta}_1<{\delta}_2$ . Так что $ E_{{\delta}_1}\cap E_{{\delta}_2}=E_{{\delta}_1}$ .

Вспомним теперь определение базы произвольного предела: база $ \mathcal{B}$ состоит из окончаний $ E$ , таких что все они непусты и если $ E_1,E_2\in\mathcal{B}$ , то существует третье окончание $ E_3\in\mathcal{B}$ , такое что $ E_3\sbs(E_1\cap E_2)$ . Наши множества разбиений $ E_{{\delta}}$ , как мы только что проверили, образуют некоторую базу в множестве всех разбиений отрезка $ [a;b]$ . Действительно, мы проверили, что они непусты и при $ E_1=E_{{\delta}_1}$ и $ E_2=E_{{\delta}_2}$ в качестве $ E_3$ можно взять $ E_1=E_{{\delta}_1}$ , если $ {\delta}_1=\min\{{\delta}_1;{\delta}_2\}$ .

Итак, размеченные разбиения образуют базу $ \mathcal{B}$ в том самом множестве, для элементов которого определены значения интегральной суммы $ \wt S(\Xi)$ . Эту базу мы будем обозначать $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ . Когда мы берём размеченные разбиения со всё меньшим и меньшим диаметром, мы измельчаем деление отрезка на части, и при этом интегральная сумма может иметь предел, который, в случае положительной непрерывной функции $ f$ , равен площади криволинейной трапеции.

Эти соображения приводят нас к следующему основному определению.

        Определение 3.1   Для заданной функции $ f$ на отрезке $ [a;b]$ назовём определённым интегралом от $ f$ по $ [a;b]$ число, равное пределу интегральной суммы, рассматриваемой как функция размеченного разбиения $ \Xi$ , по базе $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ . Определённый интеграл обозначается $ \int_a^bf(x)\;dx$ или $ \int_{[a;b]}f(x)\;dx$ . Итак,

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt...
...\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)(x_i-x_{i-1}).$

Если функция $ f$ такова, что определённый интеграл от неё по отрезку $ [a;b]$ существует (то есть если интегральная сумма имеет предел при базе $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ ), то функция $ f$ называется интегрируемой на отрезке $ [a;b]$ .

По отношению к интегралу $ \int_a^bf(x)\;dx$ число $ a$ называется нижним пределом, число $ b$  -- верхним пределом, а функция $ f(x)$  -- подынтегральной функцией.     

Если вспомнить общее определение предела и записать его применительно к нашему случаю, то получим, что число $ I$ равно определённому интегралу от $ f$ по отрезку $ [a;b]$ , если для любого, сколь угодно малого числа $ {\varepsilon}>0$ мы можем выбрать такое число $ {\delta}>0$ , задающее мелкость разбиения, что для любого размеченного разбиения $ \Xi=(X,\ov X)$ с диаметром, меньшим $ {\delta}$ , значение интегральной суммы будет отличаться от числа $ I$ не больше чем на $ {\varepsilon}$ :

$\displaystyle \Bigl\vert\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)(x_i-x_{i-1})-I\Bigr\vert\leqslant {\varepsilon},$    если $\displaystyle \max_i(x_i-x_{i-1})<{\delta}.$

Заодно, кроме общего определения определённого интеграла, мы получили определение площади $ S$ криволинейной трапеции, лежащей под графиком функции $ y=f(x)$ , как такого же предела интегральных сумм:

$\displaystyle S=\int_a^bf(x)\;dx,$

если функция $ f$ непрерывна на $ [a;b]$ и $ f(x)>0$ при всех $ x\in[a;b]$ .

Сделаем ещё такое важное замечание: в обозначении $ I=\int_a^bf(x)\;dx$ совершенно неважно, какой именно буквой обозначена переменная интегрирования (в данном случае $ x$ ): если фиксированы подынтегральная функция $ f$ и пределы интегрирования $ a$ и $ b$ , то интегралы $ \int_a^bf(t)\;dt$ , $ \int_a^bf(z)\;dz$ , $ \int_a^bf({\alpha})\;d{\alpha}$ и т. п. означают одно и то же число $ I$ , к которому стремятся интегральные суммы, построенные для функции $ f$ на отрезке $ [a;b]$ при измельчении размеченного разбиения. (Точно так же сумма $ S=\sum\limits_{i=1}^na_i$ величин $ a_1,a_2,\dots,a_n$ не зависит от того, какой буквой обозначать индекс суммирования: то же значение $ S$ будут иметь суммы, обозначенные как $ \sum\limits_{j=1}^na_j$ , $ \sum\limits_{t=1}^na_t$ , $ \sum\limits_{{\alpha}=1}^na_{{\alpha}}$ и т. п.)

Рассматривая на каждом из отрезков разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ значения $ \ul y_i=\inf\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ и $ \ov y_i=\sup\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ (в случае непрерывной функции $ f(x)$ они совпадают с $ \ul y_i=\min\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ и $ \ov y_i=\max\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ , которые мы рассматривали выше), мы можем дать для разбиения $ X$ определение нижней интегральной суммы:

$\displaystyle \ul S(X)=\sum_{i=1}^n\ul y_ih_i$

и верхней интегральной суммы:

$\displaystyle \ov S(X)=\sum_{i=1}^n\ov y_ih_i.$

При измельчении разбиения $ X$ , то есть при добавлении к множеству точек деления $ \{x_1;x_2;\dots;x_{n-1}\}$ дополнительных точек отрезка $ [a;b]$ , не совпадающих с уже имеющимися и рассмотрении новых, более мелких, отрезков деления, верхние интегральные суммы, очевидно, могут лишь уменьшиться, а нижние интегральные суммы -- лишь увеличиться: если $ X'$  -- разбиение с добавленными точками деления, то

$\displaystyle \ul S(X)\leqslant \ul S(X')\leqslant \ov S(X')\leqslant \ov S(X).$

Очевидно также, что для любого размеченного разбиения $ \Xi=(X,\ov X)$ имеет место неравенство

$\displaystyle \ul S(X)\leqslant \wt S(\Xi)\leqslant \ov S(X).$

Отсюда сразу следует такая теорема:

        Теорема 3.1   Пусть при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0$ существуют и равны друг другу пределы верхней и нижней интегральных сумм для функции $ f(x)$ на отрезке $ [a;b]$ :

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\ul S(X)=I;\quad
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\ov S(X)=I.$

Тогда функция $ f(x)$ интегрируема на $ [a;b]$ , причём

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=I.$

    

Верно и обратное утверждение:

        Теорема 3.2   Пусть функция $ f(x)$ интегрируема на отрезке $ [a;b]$ . Тогда пределы верхней и нижней интегральных сумм, составленных для этой функции на отрезке $ [a;b]$ , существуют и равны определённому интегралу:

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\ul S(X)=
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\ov S(X)=\int_a^bf(x)\;dx.$

        Доказательство.     Доказательство этого утверждения несколько более сложно, чем предыдущей теоремы; дадим его набросок.

Как для верхней, так и для нижней интегральной суммы, соответствующей разбиению $ X$ , можно указать такие точки разметки $ \ov x_i$ (при том же самом разбиении $ X$ ), что получающаяся интегральная сумма со значениями функции в этих точках $ \ov x_i$ будет произвольно мало (скажем, меньше, чем на $ \frac{{\varepsilon}}{2}$ ) отличаться от верхней (или нижней) интегральной суммы, а при достаточно мелком разбиении она мало отличается и от значения интеграла $ I$ (тоже, скажем, меньше, чем на $ \frac{{\varepsilon}}{2}$ . Следовательно, как угодно мало (меньше, чем на $ {\varepsilon}$ ) отличается от значения интеграла и верхняя (или нижняя) интегральная сумма; это говорит о том, что верхняя (нижняя) интегральная сумма стремится к $ I$ при неограниченном измельчении разбиения.     

Кроме того, мы можем теперь сформулировать такую теорему:

        Теорема 3.3   Если функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$ , то она интегрируема на этом отрезке, то есть существует число

$\displaystyle I=\int_a^bf(x)\;dx.$

        Доказательство.     Доказательство, по сути дела, было приведено выше, при построении интегральных сумм, соответствующих значениям $ f(\ov x_i)=\ul y_i$ и $ f(\ov{\ov x}_i)=\ov y_i$ . Для строгости доказательства нужно лишь заметить, что при переходе ко всё более мелким разбиениям путём добавления новых точек деления $ x_i$ нижние интегральные суммы $ \ul S(\Xi)=\sum\limits_{i=1}^n\ul y_ih_i$ не убывают и ограничены сверху значением любой из верхних интегральных сумм $ \ov S(\Xi)=\sum\limits_{i=1}^n\ov y_ih_i$ ; аналогично, верхние интегральные суммы $ \ov S(\Xi)$ не возрастают при измельчении разбиения и ограничены снизу значением любой нижней интегральной суммы $ \ul S(\Xi)$ . Поэтому для доказательства существования предела достаточно теперь сослаться на теорему о существовании предела монотонной ограниченной функции, которая была изучена в первом семестре.     

Проверим, что данное нами определение площади криволинейной трапеции не противоречит формуле, задающей площадь обычной трапеции. Обычная трапеция получается, если функция $ f(x)$  -- линейна: $ f(x)=kx+c$ . Это непрерывная на любом отрезке $ [a;b]$ функция, так что интеграл, задающий площадь $ S$ под графиком, существует:

$\displaystyle S=\int_a^bf(x)\;dx=
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)(x_i-x_{i-1}).$

Возьмём следующее размеченное разбиение с произвольно малым диаметром. Разобьём отрезок $ [a;b]$ на $ n$ равных частей, длина каждой из которых будет $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)=\frac{b-a}{n}$ , а в качестве точек разметки возьмём середину соответствующего отрезка, то есть положим $ \ov x_i=\frac{1}{2}(x_{i-1}+x_i)$ . тогда величина $ \wt S_i$ будет в точности равна площади $ S_i$ (см. рис.):

Рис.3.3.



Значит, соответствующая этому размеченному разбиению интегральная сумма будет в точности равна площади трапеции $ S$ . Поскольку мы можем взять диаметр такого разбиения произвольно малым (увеличивая $ n$ ), то предел для произвольных разбиений не может давать иного, кроме $ S$ , значения. Тем самым мы доказали корректность определения площади криволинейной трапеции8.