‹-- Назад

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

Некоторые типы неопределённых интегралов сводятся путём соответствующей замены к интегралам от рациональных функций. Рассмотрим три таких случая.

        Определение 2.1   Будем говорить, что функция $ f(x)$ рациональным образом зависит от выражения $ u(x)$ , если $ f(x)$ можно представить в виде

$\displaystyle f(x)=R(u(x)),$

где $ R(u)$  -- рациональная функция от переменного $ u$ .     

Например, функция

$\displaystyle f(x)=\frac{\sin^2x+3\sin x+2}{\sin^2x+1}$

рациональным образом зависит от $ u=\sin x$ , а функция

$\displaystyle f(x)=\frac{e^x-1}{e^{2x}-4}$

рациональным образом зависит от $ u=e^x$ .

Одночленом от двух переменных $ u$ и $ v$ назовём выражение вида $ Au^mv^n$ , где $ A=\mathrm{const}$ , а показатели степени $ m$ и $ n$  -- целые неотрицательные числа. Многочленом от двух переменных $ u$ и $ v$ назовём сумму конечного числа одночленом от этих двух переменных. (Считаем, что сумма может состоять и из одного слагаемого, так что каждый одночлен -- это частный случай многочлена.)

Например, $ u^2+v^2$ , $ 2uv$ , $ u^4-3u^3v+5uv^3-v^4$  -- многочлены от переменных $ u$ и $ v$ .

Рациональной функцией от двух переменных $ u$ и $ v$ назовём отношение двух многочленов от $ u$ и $ v$ :

$\displaystyle R(u,v)=\frac{P(u,v)}{Q(u,v)},$

где $ P(u,v)$ и $ Q(u,v)$  -- многочлены от $ u$ и $ v$ .

Например, функции

$\displaystyle \frac{2uv}{u^4+v^4},\ \frac{2u-5v}{u^2v+3uv+v-1}$ --

рациональные функции от $ u$ и $ v$ .

        Определение 2.2   Будем говорить, что функция $ f(x)$ рациональным образом зависит от выражений $ u(x)$ и $ v(x)$ , если $ f(x)$ можно представить в виде

$\displaystyle f(x)=R(u(x),v(x)),$

где $ R(u,v)$  -- рациональная функция от переменных $ u$ и $ v$ .     

Например, функция

$\displaystyle f(x)=\frac{2\sin x\cos x}{\sin^4x+\cos^4x}$

рациональным образом зависит от $ u=\sin x$ и $ v=\cos x$ , а функция

$\displaystyle f(x)=\frac{x+\sqrt[3]{(x+1)^2}}{x^2-\sqrt[6]{x+1}}$

рациональным образом зависит от $ u=x$ и $ v=\sqrt[6]{x+1}$ : нужно взять

$\displaystyle R(u,v)=\frac{u+v^4}{u^2-v}.$

Теперь рассмотрим обещанные классы интегралов.

1. Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от экспоненты. Рассмотрим интегралы вида

$\displaystyle \int R(e^x)\,dx,$

где $ R(u)=\frac{\textstyle{P(u)}}{\textstyle{Q(u)}}$  -- рациональная функция. Сделаем естественную замену $ u=e^x$ . Тогда $ x=\ln u$ и $ dx=\frac{\textstyle{du}}{\textstyle{u}}$ . Получаем:

$\displaystyle \int R(e^x)\,dx=\int R(u)\cdot\frac{du}{u}=\int R_1(u)\,du,
$

где $ R_1(u)=\frac{\textstyle{R(u)}}{\textstyle{u}}$ . Заметим, что $ R_1(u)=\frac{\textstyle{P(u)}}{\textstyle{uQ(u)}}$  -- это тоже рациональная функция, так как $ uQ(u)$  -- тоже многочлен. Таким образом, мы свели дело к вычислению интеграла от рациональной функции $ \int R_1(u)\,du$ , после нахождения которого нужно сделать замену $ u=e^x$ и получить ответ.

        Пример 2.14   Найдём интеграл

$\displaystyle \int\frac{e^x+1}{e^{3x}-2e^{2x}+e^x}dx.$

Выполняя естественную замену $ u=e^x$ , получаем:

$\displaystyle \int\frac{e^x+1}{e^{3x}-2e^{2x}+e^x}dx=
\int\frac{u+1}{u^3-2u^2+u}\cdot\frac{du}{u}=
\int\frac{u+1}{u^2(u-1)^2}\,du.$

Подынтегральную дробь разложим в сумму простейших дробей. Разложение будет иметь вид

$\displaystyle \frac{u+1}{u^2(u-1)^2}=
\frac{A}{u^2}+\frac{B}{u}+\frac{C}{(u-1)^2}+\frac{D}{u-1}.$

Приводя правую часть равенства к общему знаменателю и приравнивая числители, получаем:

$\displaystyle u+1=A(u-1)^2+Bu(u-1)^2+Cu^2+Du^2(u-1).$

При "удобном" значении $ u=1$ получаем $ 2=C\cdot1^2$ , откуда

$\displaystyle C=2.$

При "удобном" значении $ u=0$ получаем $ 1=A\cdot(-1)^2$ , откуда

$\displaystyle A=1.$

Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях $ u$ : при $ u^3$ получаем:

$\displaystyle 0=B+D,$

а при $ u^2$  --

$\displaystyle 0=A-2B+C-D,$

или

$\displaystyle 2B+D=3.$

Решая получившуюся систему уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
B+D=0;\\
2B+D=3,
\end{array}
\right.
$

находим $ B=3$ , $ D=-3$ . Значит, искомое разложение имеет вид

$\displaystyle \frac{u+1}{u^2(u-1)^2}=
\frac{1}{u^2}+\frac{3}{u}+\frac{2}{(u-1)^2}-\frac{3}{u-1},$

и

$\displaystyle \int\frac{e^x+1}{e^{3x}-2e^{2x}+e^x}dx=
 \int\frac{u+1}{u^2(u-1)^...
...nt\frac{du}{u^2}+3\int\frac{du}{u}+2\int\frac{du}{(u-1)^2}-3\int\frac{du}{u-1}=$    
$\displaystyle =-\frac{1}{u}+3\ln\vert u\vert-\frac{2}{u-1}-3\ln\vert u-1\vert+C=
 -\frac{1}{e^x}+3\ln e^x-\frac{2}{e^x-1}-3\ln\vert e^x-1\vert+C=$    
$\displaystyle =-e^{-x}+3x-\frac{2}{e^x-1}-3\ln\vert e^x-1\vert+C.$    

    

        Упражнение 2.1   Запишите промежутки, на которых кусочно постоянная функция $ C$ принимает постоянные значения. Сколько получается таких промежутков?     

2. Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от $ x$ и $ \sqrt[n]{ax+b}$ .

Рассмотрим интегралы вида

$\displaystyle \int R(x,\sqrt[n]{ax+b})\,dx,$

где $ R(u,v)$  -- рациональная функция от двух переменных $ u$ и $ v$ , а выражения $ u$ и $ v$ таковы: $ u=x$ , $ v=\sqrt[n]{ax+b}$ , и $ a\ne0$ .

Такие интегралы приводятся к интегралам от рациональных функций одного переменного, если сделать естественную замену $ v=\sqrt[n]{ax+b}$ . Действительно, тогда $ x=\frac{1}{a}(v^n-b)$ и $ dx=\frac{n}{a}v^{n-1}dv$ , а интеграл приводится к виду

$\displaystyle {\int} R(x,\sqrt[n]{ax+b})\,dx=
{\int} R(\frac{1}{a}(v^n-b),v)\c...
...frac{n}{a}{\int} R(\frac{1}{a}(v^n-b),v)v^{n-1}dv=
\frac{n}{a}{\int} R_1(v)dv,$

где

$\displaystyle R_1(v)=R(\frac{1}{a}(v^n-b),v)v^{n-1}.$

Нетрудно заметить, что функция $ R_1(v)$ рационально зависит от единственного своего аргумента $ v$ .

Заметим, что точно та же замена годится и в случае, когда подынтегральная функция зависит рациональным образом только от $ v=\sqrt[n]{ax+b}$ .

        Пример 2.15   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}}\,dx.$

Подынтегральная функция рациональным образом зависит от $ v=\sqrt[6]{x}$ , поскольку её можно записать в виде

$\displaystyle \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}}=
\frac{(\sqrt[6]{x})^3+1}{(\sqrt[6]{x})^2-\sqrt[6]{x}}=
\frac{v^3+1}{v^2-v}.$

Сделаем замену $ v=\sqrt[6]{x}$ :

$\displaystyle \int\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}}\,dx=
\left\vert\b...
...right\vert=
\int\frac{v^3+1}{v^2-v}\cdot6v^5dv=
6\int\frac{v^7+v^4}{v-1}\,dv.$

Получили интеграл от рациональной дроби $ \frac{\textstyle{v^7+v^4}}{\textstyle{v-1}},$ которая является неправильной дробью, поскольку степень её числителя, равная 7, больше степени знаменателя, равной 1. Значит, нужно выделить в этой дроби целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель "столбиком":

\begin{displaymath}
\arraycolsep=0.05em
\begin{array}{rrrrrrrr@{\,}r\vert l}
...
...&&2v\\
&&&&&&2v&{}-2\\
\cline{7-8}
&&&&&&&2
\end{array}
\end{displaymath}

Получили частное $ v^6+v^5+v^4+2v^3+2v^2+2v+2$ и остаток 2, значит, неправильная дробь представляется в виде

$\displaystyle \frac{v^7+v^4}{v-1}=v^6+v^5+v^4+2v^3+2v^2+2v+2+\frac{2}{v-1}.$

Теперь можно вычислить интеграл:

$\displaystyle \int\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}}\,dx=
 6\int\frac{v^7+v^4}{v-1}\,dv=
 6\int\Bigl(v^6+v^5+v^4+2v^3+2v^2+2v+2+\frac{2}{v-1}\Bigr)\,dv=$    
$\displaystyle =6\Bigl(\frac{v^7}{7}+\frac{v^6}{6}+\frac{v^5}{5}+2\frac{v^4}{4}+...
...
 +2\frac{v^2}{2}+2v+2\ln\vert v-1\vert\Bigr)+C\Bigr\vert _{v=x^{\frac{1}{6}}}=$    
$\displaystyle =\frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}+x+\frac{6}{5}x^{\frac{5}{6}}+3x^{\fra...
...}{2}}
 +6x^{\frac{1}{3}}+12x^{\frac{1}{6}}+12\ln\vert x^{\frac{1}{6}}-1\vert+C.$    

    

3. Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от $ \sin x$ и $ \cos x$ .

Интегралы вида

$\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\,dx,$

где $ R(u,v)$  -- функция, рациональным образом зависящая от $ u$ и $ v$ , можно привести к интегралу от рациональной функции от одного переменного $ t$ , если сделать так называемую "универсальную" замену

$\displaystyle t=\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}.$

При этом

$\displaystyle \sin x=\frac{2\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}}{1+\mathop{\rm...
... ^2\frac{x}{2}}{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2\frac{x}{2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}
$

и $ x=2\mathop{\rm arctg}\nolimits t$ , откуда

$\displaystyle dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}.$

С помощью этих формул исходный интеграл преобразуется к виду

$\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\,dx=
\int R\Bigl(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\Bigr)\frac{2\,dt}{1+t^2}=
\int R_1(t)\,dt,$

где

$\displaystyle R_1(t)=R\Bigl(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\Bigr)\frac{2}{1+t^2}.$

Нетрудно заметить, что $ R_1(t)$  -- рациональная функция одного переменного $ t$ .

Если имеет место частный случай рациональной зависимости от $ \sin x$ и $ \cos x$ , когда обе эти функции входят в выражение лишь в чётных степенях, то есть подынтегральная функция имеет вид

$\displaystyle R(\sin^2x,\cos^2x),$

то применять универсальную замену не обязательно: она, как правило, будет приводить к слишком сложным интегралам; в этих случаях гораздо лучше применить другую тригонометрическую замену:

$\displaystyle t=\mathop{\rm tg}\nolimits x.$

В этом случае

$\displaystyle \sin^2x=\frac{\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}{1+\mathop{\rm tg}\nol...
...2}{1+t^2};\ %
\cos^2x=\frac{1}{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}=\frac{1}{1+t^2}$

и $ x=\mathop{\rm arctg}\nolimits t$ , откуда

$\displaystyle dx=\frac{dt}{1+t^2}.$

        Пример 2.16   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int\frac{dx}{3+\cos^2x}.$

Выполняя замену $ t=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ , получаем:

$\displaystyle \int\frac{dx}{3+\cos^2x}=\left\vert\begin{array}{l}
 t=\mathop{\r...
...c{1}{1+t^2}}=\int\frac{dt}{3t^2+4}=
 \frac{1}{3}\int\frac{dt}{t^2+\frac{4}{3}}=$    
$\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{3}}\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{\sqrt{3}t}{...
...{3}}\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{\sqrt{3}\mathop{\rm tg}\nolimits x}{2}+C.$    

Если в том же интеграле сделать универсальную замену, то получаем:

$\displaystyle \int\frac{dx}{3+\cos^2x}=
 \left\vert\begin{array}{l}
 t=\mathop{...
...\Bigr)^2}\cdot\frac{2\,dt}{1+t^2}=
 \frac{1}{2}\int\frac{(1+t^2)dt}{t^4+t^2+1}.$    

Получили интеграл от рациональной функции переменного $ t$ . Однако вычисление этого интеграла представляется весьма трудоёмким, поскольку непонятно даже, как искать разложение знаменателя на множители5. Так что первая замена оказалась много лучше второй.     

        Замечание 2.5   Замена $ {t=\mathop{\rm tg}\nolimits x}$ годится также в случае интеграла $ \int R(\sin x,\cos x)\,dx$ , в котором функция $ R(u,v)$ рациональным образом зависит от $ u$ и $ v$ и обладает следующим свойством:

$\displaystyle R(-u,-v)=R(u,v).$

Тогда при замене нужно использовать формулы

$\displaystyle \sin x=\pm\frac{\mathop{\rm tg}\nolimits x}{\sqrt{1+\mathop{\rm t...
...x=\pm\frac{1}{\sqrt{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}}=\pm\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}.$

Если же подынтегральная функция $ R(\sin x,\cos x)$ зависит от своих аргументов несимметричным образом, то ничего не остаётся делать, как применять не всегда приятную универсальную замену $ t=\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}$ .     

        Пример 2.17   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sin x+2\cos x+1}.$

Применяем универсальную замену:

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sin x+2\cos x+1}=
 \left\vert\begin{array}{l}
 t=\...
...1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{2(1-t^2)}{1+t^2}+1}=
 -2\int\frac{dt}{t^2-2t-3}=$    
$\displaystyle =-2\int\frac{dt}{(t-1)^2-4}=
 -\frac{1}{2}\ln\left\vert\frac{t-1-...
...}\nolimits \frac{x}{2}-3}{\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}+1}\right\vert+C.$    

В данном примере исходная подынтегральная функция была не столь уж сложна, и универсальная замена сразу привела нас к табличному интегралу.