‹-- Назад

Формула понижения степени

Для вычисления интегралов вида

$\displaystyle I_m=\int\frac{dx}{\cos^mx},\ J_m=
\int\frac{dx}{\sin^mx},\ m\in\mathbb{N},$

потребуются более сложные преобразования, нежели в предыдущем разделе.

Заметим, что при $ m=1$ и $ m=2$ получаются табличные интегралы:

$\displaystyle I_1=\int\frac{dx}{\cos x}=
 \ln\Bigl\vert\mathop{\rm tg}\nolimits...
...ac{dx}{\sin x}=
 \ln\Bigl\vert\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}\Bigr\vert+C,$    
$\displaystyle I_2=\int\frac{dx}{\cos^2x}=\mathop{\rm tg}\nolimits x+C,\ <tex2html_comment_mark>76 J_2=\int\frac{dx}{\sin^2x}=-\mathop{\rm ctg}\nolimits x+C.$    

Выведем формулы, позволяющие свести вычисление $ I_m$ и $ J_m$ к $ I_{m-2}$ и $ J_{m-2}$ соответственно. Применяя эти формулы к исходным интегралам несколько раз, при чётном $ m$ мы сведём дело к вычислению табличного интеграла $ I_2$ или $ J_2$ , а при нечётном $ m$  -- к вычислению табличного интеграла $ I_1$ или $ J_1$ .

Итак, получим формулу, выражающую $ I_m$ через $ I_{m-2}$ ; эта формула называется формулой понижения степени. Преобразуем интеграл $ I_m$ следующим образом:

$\displaystyle I_m=\int\frac{dx}{\cos^mx}=
 \int\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^mx}dx=
 \int\frac{dx}{\cos^{m-2}x}+\int\sin x\frac{\sin x}{\cos^mx}dx=$    
$\displaystyle =I_{m-2}+\int\sin x\frac{\sin x}{\cos^mx}dx.$    

Последний интеграл вычислим, применив формулу интегрирования по частям:

$\displaystyle \int\sin x\frac{\sin x}{\cos^mx}dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
 ...
...nt\frac{d\cos x}{\cos^mx}=\frac{1}{(m-1)\cos^{m-1}x}
 \end{array}
 \right\vert=$    
$\displaystyle =\frac{\sin x}{(m-1)\cos^{m-1}x}-
 \frac{1}{m-1}\int\frac{\cos x\,dx}{\cos^{m-1}x}
 =\frac{\sin x}{(m-1)\cos^{m-1}x}-\frac{1}{m-1}I_{m-2}.$    

(В комментарии, между вертикальными чёрточками, мы не вполне корректно обозначили через $ \int dv$ не полный набор первообразных для $ v'$ , а какую-либо, произвольную, первообразную, одну из которых и нашли. Только эта первообразная нам и нужна для дальнейшего. Поэтому произвольную постоянную $ C$ добавлять не стали.) После этого получаем


Мы получили выражение интеграла $ I_m$ через интеграл $ I_{m-2}$ и известную функцию.

С помощью аналогичных преобразований, для интеграла $ J_m$ получаем такое выражение через интеграл $ J_{m-2}$ и известную функцию:


Как упражнение, выполните эти преобразования и получите приведённую здесь формулу (2.3).

        Замечание 2.1   В промежуточных вычислениях мы получили также способ нахождения интегралов вида

$\displaystyle \int\frac{\sin^2x\,dx}{\cos^mx}$ и $\displaystyle \int\frac{\cos^2x\,dx}{\sin^mx},$

которые сводятся, после интегрирования по частям, к интегралам $ I_{m-2}$ и $ J_{m-2}$ .     

        Пример 2.7   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^4x}.$

Здесь $ m=4$ . После однократного применения формулы понижения степени (2.2), дело сведётся к нахождению интеграла $ I_2=\int\frac{dx}{\cos^2x}=\mathop{\rm tg}\nolimits x+C$ . Итак,

$\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^4x}=I_4=\frac{2}{3}I_2
+\frac{\sin x}{3\cos^3x}=
\frac{2}{3}\mathop{\rm tg}\nolimits x+\frac{\sin x}{3\cos^3x}+C.$

    

        Замечание 2.2   Приведённый в этом примере способ вычисления интеграла $ I_4$ и подобных ему -- не единственно возможный. Если записать подынтегральное выражение в виде

$\displaystyle \frac{dx}{\cos^4x}=\frac{1}{\cos^2x}\cdot\frac{dx}{\cos^2x}$

и заметить, что $ \frac{1}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x$ и $ \frac{dx}{\cos^2x}=d\mathop{\rm tg}\nolimits x$ , то получим равенство

$\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^4x}=\int(1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x)d\math...
...t^3}{3}+C=\mathop{\rm tg}\nolimits x+\frac{1}{3}\mathop{\rm tg}\nolimits ^3x+C,$

где $ t=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ . Первообразные в этих двух ответах тождественно равны друг другу:

$\displaystyle \frac{2}{3}\mathop{\rm tg}\nolimits x+\frac{\sin x}{3\cos^3x}=
\...
...mits ^2x)=
\mathop{\rm tg}\nolimits x+\frac{1}{3}\mathop{\rm tg}\nolimits ^3x.$

    

        Пример 2.8   Для вычисления интеграла

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^5x}$

формулу (2.3) нужно будет применить два раза подряд:

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^5x}=J_5=
 \frac{3}{4}J_3-\frac{\cos x}{4\sin^4x}=$    
$\displaystyle =\frac{3}{4}\Bigl(\frac{1}{2}J_1-\frac{\cos x}{2\sin^2x}\Bigr)-
 ...
...its \frac{x}{2}\Bigr\vert-
 \frac{3\cos x}{8\sin^2x}-\frac{\cos x}{4\sin^4x}+C.$