‹-- Назад

Упражнения

        Упражнение 9.4   Найдите с точностью $ {\varepsilon}=0.00001$ приближённые значения корней уравнений

а) $ 2x^3-3x^2+x+5=0$;

б) $ x^3-4x+2=0$;

в) $ x^4-5x^3+6x-1=0$.

Воспользуйтесь методами половинного деления, хорд и Ньютона. Сравните количество итераций, необходимых для нахождения корня с указанной точностью каждым из этих методов.

Ответы:

а) $ x=-0.91857$;

б) $ x^{(1)}=-2.21432;x^{(2)}=0.53919;x^{(3)}=1.67513$;

в) $ x^{(1)}=-1.06900;x^{(2)}=0.17067;x^{(3)}=1.15572;x^{(4)}=4.74262$.     

        Упражнение 9.5   Выпишите итерационную формулу для решения уравнения

$\displaystyle x^5-2x^3+x^2-3x+1=0$

а) методом хорд;

б) методом одной касательной, при начальном приближении $ x_0=0$;

в) методом Ньютона.

Ответы:

а) $ x_{i+1}=x_i-\dfrac{x_i^5-2x_i^3+x_i^2-3x_i+1}{
\dfrac{(x_i^5-2x_i^3+x_i^2-3x_i+1)-(x_{i-1}^5-2x_{i-1}^3+x_{i-1}^2-3x_{i-1}+1)}
{x_i-x_{i-1}}};$

б) $ x_{i+1}=x_i+\dfrac{1}{3}(x_i^5-2x_i^3+x_i^2-3x_i+1);$

в) $ x_{i+1}=x_i-\dfrac{x_i^5-2x_i^3+x_i^2-3x_i+1}{20x_i^3-12x_i+2}.$     

        Упражнение 9.6   Приближённо, с точностью $ {\varepsilon}=0.00001$, найдите точку минимума функции $ f(x)$ на отрезке $ [a;b]$ и вычислите минимальное значение $ f_{\min}=\min\limits_{x\in[a;b]}f(x)$:

а) $ f(x)=x^4-3x^3+2x^2+x+1$, $ a=-3;b=4$;

б) $ f(x)=x^6+2x^4-5x^2-3x+2$, $ a=0;b=5$;

в) $ f(x)=x^4e^x+2x^3e^{-x}-4x^2+x+1$, $ a=0;b=2$.

Ответы:

а) $ x_{\min}=-0.17539; f_{\min}=0.90327;$

б) $ x_{\min}=0.97621; f_{\min}=1.99942;$

в) $ x_{\min}=0.71923; f_{\min}=0.56186.$