‹-- Назад

Композиция функций

Если даны два отображения $ {f:X\to U_1}$ и $ {g:U_2\to Y}$, где $ U_2\sbs U_1$, то имеет смысл "сквозное отображение" $ {x\mapsto u\mapsto y}$ из $ X$ в $ Y$, заданное формулой $ y=g(f(x))$, $ x\in X$, которое называется композицией функций $ f$ и $ g$ и обозначается $ g\circ f$.

Рис.1.30.Сквозное отображение $ x\mapsto u\mapsto y$ из $ X$ в $ Y$


Таким образом, $ g\circ f:X\to Y$, $ (g\circ f)(x)=g(f(x))$ при всех $ x\in X$. Другое название композиции -- сложная функция (так как сквозное отображение $ g\circ f:x\mapsto u\mapsto y$ "сложено" из отображений $ f:x\mapsto u$ и $ g:u\mapsto y$).

        Пример 1.18   Пусть $ f(x)=\sin x$, $ x\in X=[0;\frac{\pi}{2}]$, и $ g(u)=\sqrt{1-u^2}$, $ u\in U_2=[-1;1]$. Тогда $ \mathcal{E}(f)=[-1;1]=U_2$, и определена композиция

$\displaystyle h(x)=(g\circ f)(x)=\sqrt{1-\sin^2x}=\cos x.$

    

        Упражнение 1.3   Покажите, что если заменить множество $ X$ в предыдущем примере на $ X=[-\frac{\pi}{2};0]$, то композиция $ g\circ f$ снова будет определена, но равна теперь $ -\cos x$, а не $ \cos x$.     

        Пример 1.19   Пусть $ f(x)=x+\frac{\pi}{2}$, $ x\in X=\mathbb{R}$, и $ g(u)=\sin u$, $ u\in U_2=\mathbb{R}$. Тогда определена композиция $ g\circ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, заданная формулой $ y=g(f(x))=\sin(x+\frac{\pi}{2})$. По известной формуле приведения полученная композиция -- это косинус: $ (g\circ f)(x)=\cos x$ при всех $ x\in\mathbb{R}$.     

        Замечание 1.5   Даже если для функций $ f$ и $ g$ имеют смысл обе композиции $ {h_1=f\circ g}$ и $ {h_2=g\circ f}$ (что бывает далеко не для любой пары функций $ f$ и $ g$), то функции $ h_1$ и $ h_2$ не обязаны совпадать; как правило, это не так.     

        Пример 1.20   Пусть $ f(x)=x^2$ и $ g(x)=\sin x$, $ X=U_1=U_2=Y=\mathbb{R}$. Тогда $ h_1(x)=f(g(x))=\sin^2x$, а $ h_2(x)=g(f(x))=\sin(x^2)$. Очевидно, что это разные функции: $ \sin^2x\geqslant 0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$, а $ \sin(x^2)$ принимает значение $ -1$, например, при $ x=\sqrt{\frac{3\pi}{2}}$.     

Применяя композицию функций, которые сами могут получаться как композиции, мы можем получать сложные функции вида $ h(g(f(x)))$ и более длинные композиции.