‹-- Назад
Как уже отмечалось выше, если известно, что точка локального экстремума функции
на отрезке
единственна и лежит внутри отрезка, то в этой точке
выполняется равенство
. Таким образом, для нахождения точки локального минимума с точностью
нужно с этой точностью найти корень уравнения
. Будем предполагать, что для функции
известно аналитическое выражение или мы умеем вычислять значения
при заданном
каким-либо иным способом. Для нахождения корня мы можем применить один из приближённых методов решения уравнений, которые мы обсуждали в этой главе ранее.
Например, метод Ньютона, применённый к уравнению
, даёт итерационную формулу (см. формулу (9.1)):

, причём для начала итераций нужно выбрать начальное приближение

. При этом нужно будет уметь вычислять и вторую производную, а также предполагать, что она не обращается в 0 на интересующем нас отрезке.
Метод хорд даёт итерационную формулу (см. формулу (9.3)):

, причём для начала нужно выбрать два начальных значения

и

.
Эти методы весьма эффективны, если выполняются условия их применимости. Их достоинства и недостатки -- продолжение тех же свойств соответствующих методов приближённого поиска корня.
Пример 9.11 Найдём локальные экстремумы, в том числе минимальное значение, функции

. Производная этой функции равна

. Нетрудно видеть, вычислив, например, значения функции в точках

, что функция

имеет три корня

, отделённых, соответственно, на отрезках
![$ [-1;0],[0;1],[3;4]$](theory/kiselev1/images/img4475.png)
(больше трёх корней многочлен третьей степени иметь не может). При переходе через каждый из этих корней производная меняет знак. Значит, функция

имеет три локальных экстремума. Поскольку

при

, то нетрудно сообразить, что в точках

и

функция будет иметь локальный минимум, а в точке

-- локальный максимум. Один из двух локальных минимумов будет давать минимальное значение функции на всей оси

.
Осталось найти точки
и
, вычислить в них значения функции и сравнить эти значения.
Точки
будем искать как корни уравнения
, применяя метод Ньютона. Поскольку
, то итерационная формула метода Ньютона для поиска любой из трёх точек
будет иметь вид
Заметим, что поскольку

, брать

в качестве начального приближения нельзя.
Точка
отделена на отрезке
, значит, возьмём за начальное приближение
. Далее, применяя итерационную формулу, получаем (с точностью
):
Значит,

; вычисление значения функции

даёт локальный минимум

.
Беря за начальное приближение
, получаем последовательные приближения к
:
Отсюда

; значение локального максимума таково:

.
Теперь возьмём за начальное приближение для
значение
. Получаем последовательные приближения
Итак,

и значение локального минимума равно

.
Сравнивая два значения в точках локального минимума, получаем, что

Рис.9.18.Примерный график функции
Замечание 9.2 В случае, когда формулы для первой или второй производных функции

неизвестны, но мы умеем вычислять значения самой функции

, можно попробовать воспользоваться формулами численного дифференцирования, которые мы обсуждали ранее, например:
и
взяв в качестве шага

достаточно малое число (но не слишком уж малое: ранее мы видели, что выбор слишком малого шага в формулах численного дифференцирования приводит к большим погрешностям). Конечно, если мы применяем вместо производных их конечно-разностные аналоги, вычисленные с шагом

, то нельзя надеяться, что приближённое значение

для

может быть найдено с точностью

. Поэтому следует выбирать

при заданной точности

, а поскольку на

есть ограничения снизу, то мы видим, что добиться таким образом очень малой погрешности при нахождении точки экстремума нельзя.