‹-- Назад

Метод одной касательной

Заметим, что в методе секущих удобно было бы фиксировать наиболее удобное для первого шага значение $ {\lambda}_0=\dfrac{1}{f'(x_0)}$, при котором все секущие параллельны касательной, проведённой к графику $ y=f(x)$ при $ x=x_0$. При таком выборе $ {\lambda}_0$ метод секущих называется методом одной касательной. Формула итераций этого метода имеет вид

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{1}{f'(x_0)}f(x_i).$

Как видно из этой формулы, производную придётся вычислить только один раз, а затем на каждом шаге использовать значение $ {\lambda}_0=\dfrac{1}{f'(x_0)}$ или, что то же, $ k=f'(x_0)$.

Рис.9.12.Итерации метода одной касательной


При таком выборе $ {\lambda}_0$ в точке $ x_0$ выполнено равенство

$\displaystyle {\varphi}'(x_0)=1-{\lambda}_0f'(x_0)=0,$

и если отрезок, на котором отделён корень и выбрано начальное приближение $ x_0$, достаточно мал, а производная $ {\varphi}'(x)$ непрерывна, то значение $ {\varphi}'(x^*)$ будет не сильно отличаться от $ {\varphi}'(x_0)=0$ и, следовательно, график $ y={\varphi}(x)$ будет пересекать прямую $ y=x$, идя почти горизонтально. А это, как мы отмечали выше, будет давать нам быстрое приближение итераций к корню (так как число $ {\gamma}$ при этом можно выбрать равным $ \max\limits_x\vert{\varphi}'(x)\vert$, а эта величина мала).

        Пример 9.6   Решим методом одной касательной уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$. (Напомним, что его корень был ранее нами отделён на отрезке $ [-2;-1]$.) Корень будем находить с точностью до $ {\varepsilon}=0.000001$, а для этого вычисления будем вести до тех пор, пока в значении $ x_i$ не зафиксируется шестой знак после десятичного разделителя.

В качестве начального приближения возьмём $ x_0=-2$. Поскольку

$\displaystyle f'(x)=(x^3+2x^2+3x+5)'=3x^2+4x+3,$

то $ f'(x_0)=7$ и $ {\lambda}_0=\frac{1}{7}$. Значит, итерационная формула будет такой:

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{1}{7}(x_i^3+2x_i^2+3x_i+5).$

По этой формуле последовательно получаем:

$\displaystyle x_1=-1.857143;x_2=-1.845898;x_3=-1.844096;$    
$\displaystyle x_4=-1.843795;x_5=-1.843745;x_6=-1.843736;$    
$\displaystyle x_7=-1.843735;x_8=-1.843734;x_9=-1.843734.$    

Восьмое и девятое приближения уже совпадают с точностью $ {\varepsilon}$, поэтому вычисления на этом прекращаем и полагаем $ \wt x=-1.843734$.     

        Упражнение 9.1   Покажите, что итерации расходятся, если начать их с точки $ x_0=-1$, так что второй конец отрезка не годится для начального приближения метода одной касательной. Не забудьте, что значение $ {\lambda}_0$ зависит от начального приближения и потому изменится.

Проверьте, сколько нужно итераций, чтобы найти то же значение корня, начав с $ {x_0=-1.5}$ и с $ {x_0=-2.5}$.

Ответ: Потребуется и в том, и в другом случае 22 итерации.