‹-- Назад

Отделение корней

Во многих приближённых методах нахождения корня уравнения $ f(x)=0$ заранее требуется знать какой-либо отрезок $ [a;b]$, на котором лежит искомый корень $ x^*$, и притом только один этот корень (то есть предъявляемый отрезок не должен содержать других корней уравнения $ f(x)=0$). В этом случае говорят, что корень $ x^*$ отделён на отрезке $ [a;b]$. Отделить корень -- значит указать такой отрезок, на котором корень отделён. Заметим, что отделить корень можно не единственным образом: если корень отделён на каком-либо отрезке, то годится и любой меньший отрезок, содержащий этот корень. Вообще говоря, чем меньше отрезок, тем лучше, но при этом не следует забывать о том, что на отделение корня на меньших отрезках также тратятся вычислительные усилия, и, быть может, весьма значительные. Таким образом, часто для начала довольствуются весьма широким отрезком, на котором корень отделён.

Кроме того, часто нужно знать начальное приближение $ x_0$ к корню $ x^*$ (который, заметим, неизвестен). В качестве этого начального приближения берут, как правило, любую точку отрезка, на котором отделён корень, например, его середину $ x_0=\dfrac{a+b}{2}$, если описание метода не предписывает поступить как-нибудь иначе.

Приведём некоторые утверждения, которые могут помочь при отделении корня.

        Теорема 9.1 (теорема 3.6 о корне непрерывной функции)   Если функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$, причём значения её в концах отрезка $ f(a)$ и $ f(b)$ -- это числа разных знаков, то на отрезке $ [a;b]$ лежит по крайней мере один корень уравнения $ f(x)=0$.    

Практический смысл теоремы -- в том, что если мы, вычисляя значения функции в некоторых точках, видим, что вычисление в двух соседних точках даёт значения разных знаков, то на отрезке между этими точками лежит отыскиваемый корень. Если же известно заранее, что корень один, то получаем, что корень отделён на найденном отрезке. Этот же способ, когда мы наугад вычисляем значения функции в каких-то точках, может привести к отделению корней и в случае, когда корней несколько, но заранее известно их число или хотя бы оценка сверху для их количества. Рассмотрим иллюстрирующий сказанное пример.

        Пример 9.1   Рассмотрим уравнение $ x^3-4x+2=0$. Это уравнение третьей степени, поэтому у него не более трёх корней. Подсчитаем несколько значений функции $ f(x)=x^3-4x+2$, выбирая для простоты целые значения $ x$:

$\displaystyle f(-3)=-13; f(-2)=2; f(-1)=5;f(0)=2;f(1)=-1;f(2)=2.$

Функция $ f(x)$ непрерывна (любой многочлен непрерывен), и имеет разные знаки на концах отрезков $ [-3;-2]; [0;1]$ и $ [1;2]$; следовательно, по теореме о корне непрерывной функции, на каждом из этих трёх отрезков имеется не менее чем по одному корню. Однако корней не более трёх, так что на каждом отрезке -- ровно по одному корню. Тем самым нам удалось отделить все три корня $ x^*$, $ x^{**}$ и $ x^{***}$ уравнения (и при этом установить, что их действительно три, а не меньше):

$\displaystyle x^*\in[-3;-2]; x^{**}\in[0;1]; x^{***}\in[1;2].$

        Теорема 9.2   Если функция $ f(x)$ строго монотонна на отрезке $ [a;b]$, то есть возрастает или убывает на $ [a;b]$, то на этом отрезке уравнение $ f(x)=0$ не может иметь более одного корня.

Доказательство сразу следует из того, что строго монотонная функция принимает каждое своё значение ровно один раз. Если 0 является значением функции, то и значение 0 принимается один раз, то есть уравнение $ f(x)=0$ имеет один корень.     

Тем самым, если отрезок $ [a;b]$, на котором заведомо имеется хотя бы один корень (например, если $ f(a)$ и $ f(b)$ -- разного знака), -- это отрезок строгой монотонности функции, то на $ [a;b]$ отделён ровно один корень $ x^*$.

Заметим, что интервалы монотонности функции $ f(x)$ можно отыскивать, решая неравенства $ f'(x)>0$ (что соответствует возрастанию функции) и $ f'(x)<0$ (что соответствует убыванию).

        Пример 9.2   Рассмотрим уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$. Для функции $ {f(x)=x^3+2x^2+3x+5}$ найдём производную $ f'(x)=3x^2+4x+3$. У этого квадратного трёхчлена отрицательный дискриминант: $ D=4^2-4\cdot3\cdot3=-20$, поэтому $ f'(x)$ сохраняет знак коэффициента при $ x^2$, то есть $ f'(x)>0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$. Следовательно, функция $ f(x)$ возрастает на всей оси $ Ox$ и может иметь не более одного корня. Вычислим значения $ f(x)$ в точках $ -2$ и $ -1$: $ f(-2)=-1;f(-1)=3$. Это значения разных знаков, поэтому корень существует и отделён на отрезке $ [-2;-1]$.     

        Пример 9.3   Для функции $ f(x)=x^3-4x+2$ найдём интервалы монотонности. Решим неравенство $ f'(x)=3x^2-4>0$ и получим:

$\displaystyle x\in(-\infty;-\dfrac{2}{\sqrt{3}})\cup(\dfrac{2}{\sqrt{3}};+\infty).$

На этих двух интервалах функция возрастает. Ясно, что на интервале

$\displaystyle x\in(-\dfrac{2}{\sqrt{3}};\dfrac{2}{\sqrt{3}})$

функция убывает. Найдём значения функции в точках экстремума:

$\displaystyle f(-\dfrac{2}{\sqrt{3}})=
2+\dfrac{16}{3\sqrt{3}}>0;
f(\dfrac{2}{\sqrt{3}})=2-\dfrac{16}{3\sqrt{3}}=\dfrac{8(\sqrt{3}-2)}{3\sqrt{3}}<0.
$

Значит, на отрезке убывания $ [-\dfrac{2}{\sqrt{3}};\dfrac{2}{\sqrt{3}}]$ отделён корень $ x^{**}$. Так как, очевидно, $ f(x)\to-\infty$ при $ x\to-\infty$ и $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to+\infty$, то имеются ещё два корня: $ x^*\in(-\infty;-\dfrac{2}{\sqrt{3}}]$ и $ x^{***}\in[\dfrac{2}{\sqrt{3}};+\infty)$. Для отделения этих корней вычислим, например, значения в точках $ -3$ и 3: $ f(-3)=-13<0$ и $ f(3)=17>0$. Получили следующие отрезки, на которых отделены корни:

$\displaystyle x^*\in[-3;-\dfrac{2}{\sqrt{3}}]; x^{***}\in[\dfrac{2}{\sqrt{3}};3].$

    

Далее мы будем предполагать, что функция $ f(x)$ меняет знак при переходе через корень $ x^*$. Это всегда так, если корень $ x^*$ простой, то есть если $ f'(x^*)\ne0$.