‹-- Назад

Радиус кривизны

        Определение 8.3   Радиусом кривизны кривой $ L$ в точке $ M\in L$ называется число $ r=\dfrac{1}{k}$, где $ k$ -- кривизна линии $ L$ в точке $ M$. Если кривизна в точке $ M$ равна 0, то радиус кривизны формально полагаем равным $ +\infty$.     

Заметим, что для окружности это определение даёт значение радиуса кривизны, совпадающее с радиусом окружности (постоянное во всех точках окружности).

Без доказательства сообщим, что из всех окружностей, касающихся линии $ L$ в фиксированной точке $ M(x_0;y_0)$, наиболее плотно прилегает24 к линии $ L$ та окружность, которая имеет радиус, равный радиусу кривизны кривой в точке $ M$, и выпуклость в ту же сторону, что кривая $ L$. Эта окружность называется окружностью кривизны линии $ L$ в точке $ M$.

Рис.8.6.Окружности, касающиеся линии $ L$, и окружность кривизны


        Пример 8.7   Радиус кривизны параболы $ y=x^2$ в её вершине равен $ r=\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{2}$. Значит, окружность радиуса $ \frac{1}{2}$ с центром в точке $ C(0;\frac{1}{2})$ наилучшим образом приближает параболу в окрестности её вершины, то есть является для параболы окружностью кривизны в вершине параболы.     

Рис.8.7.Окружность кривизны для параболы в вершине