‹-- Назад

Упражнения и задачи

        Упражнение 7.3   Найдите область определения и вертикальные асимптоты графика функции

$\displaystyle f(x)=\dfrac{x^3+2x^2-1}{x(x+1)(x-2)}.$

Подсказка:

Рассмотрите точки $ x$, в которых знаменатель обращается в 0. Внимание: в одной из этих точек вертикальной асимптоты нет, так как функция имеет устранимый разрыв.

Решение:

Область определения составляют все точки оси $ Ox$, кроме 0, $ -1$ и 2:

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=
\mathbb{R}\diagdown \{-1;0;2\}=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty).$

Заметим теперь, что при $ x=-1$ числитель также обращается в 0:

$\displaystyle (-1)^3+2(-1)^2-1=-1+2-1=0.$

Значит, многочлен, стоящий в числителе, делится нацело на $ x-(-1)=x+1$. Деление столбиком даёт:

$\displaystyle x^3+2x^2-1=(x+1)(x^2+x-1).$

Значит, при $ x\ne-1$ дробь $ f(x)$ можно сократить на $ x+1$:

$\displaystyle f(x)=\dfrac{(x+1)(x^2+x-1)}{x(x+1)(x-2)}=
\dfrac{x^2+x-1}{x(x-2)},$

откуда видно, что при $ x\to-1$ функция стремится к $ \dfrac{(-1)^2+(-1)-1}{(-1)(-1-2)}=-\dfrac{1}{3},$ а не к $ \infty$.

При $ x$, равном двум другим корням знаменателя, 0 и 2, числитель в 0 не обращается, а равен $ -1$ и $ 15$ соответственно. Значит, при $ x\to0$ и при $ x\to2$ $ f(x)\to\infty$, и прямые $ x=0$ и $ x=2$ -- вертикальные асимптоты.

Ответ:

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=
\mathbb{R}\diagdown \{-1;0;2\}=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty);$

вертикальные асимптоты: $ x=0$ и $ x=2$.     

        Упражнение 7.4   Найдите вертикальные асимптоты графиков функций:

а) $ f(x)=\dfrac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1};$

б) $ f(x)=\dfrac{x^3+1}{x^4-1}$;

в) $ f(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x^3-1}$.

Ответы: а) $ x=0$; б) $ x=1$; в) вертикальных асимптот нет.     

        Упражнение 7.5   Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графика функции

$\displaystyle f(x)=\dfrac{3x^2-2x+1}{x+3}.$

Подсказка:

Воспользуйтесь общими формулами для $ k$ и $ b$ в уравнении асимптоты $ y=kx+b$. Пределы при $ x\to-\infty$ и при $ x\to+\infty$ здесь можно искать заодно.

Решение:

Найдём $ k$ и $ b$:

$\displaystyle k=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{3x^2-2x+1}{x(x+3)}=
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{3-2\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{3}{x}}=
\dfrac{3-0+0}{1+0}=3;$

$\displaystyle b=\lim_{x\to\pm\infty}[\dfrac{3x^2-2x+1}{x+3}-3x]=
 \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{(3x^2-2x+1)-3x(x+3)}{x+3}=$    
$\displaystyle =\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-11x+1}{x+3}=
 \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-11+\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x}}=-11.$    

Итак, прямая $ y=3x-11$ служит наклонной асимптотой графика $ y=\dfrac{3x^2-2x+1}{x+3}.$

Ответ: наклонная асимптота при $ x\to\pm\infty$ имеет уравнение $ y=3x-11$.     

        Упражнение 7.6   Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графиков функций:

а) $ f(x)=\dfrac{1-x^3}{x^2+x}$;

б) $ f(x)=\dfrac{x^2+5x+6}{3x-1}$;

в) $ f(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}.$

Ответы: а) $ y=-x+1$ при $ x\to\pm\infty$; б) $ y=\frac{1}{3}x+\frac{16}{9}$ при $ x\to\pm\infty$; в) $ y=-1$ при $ x\to-\infty$ и $ y=1$ при $ x\to+\infty$.     

        Упражнение 7.7   Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $ {f(x)=\dfrac{x^2-3}{x^2+4}}$ на отрезке $ [-1;4]$.

Подсказка:

Найдите стационарные точки функции, попадающие на заданный отрезок, и добавьте к ним концы отрезка. В одной из этих точек функция будет принимать наибольшее, а в другой -- наименьшее значение.

Решение:

Поскольку знаменатель дроби $ f(x)$ положителен при всех $ x$, функция непрерывна на всей оси $ Ox$. Поэтому все её критические точки -- стационарные. Найдём производную:

$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x(x^2+4)-2x(x^2-3)}{(x^2+4)^2}=\dfrac{14x}{(x^2+4)^2}.$

Очевидно, что производная обращается в 0 только в одной точке $ x=0$; эта стационарная точка лежит на заданном отрезке $ [-1;4]$.

Вычисляем значения функции в этой стационарной точке и в концах отрезка:

$\displaystyle f(-1)=-\frac{2}{5}=-0.2; f(0)=-\frac{3}{4}=-0.75;
f(4)=\frac{13}{20}=0.65.$

Выбирая из этих значений наибольшее и наименьшее, получаем ответ:

Ответ:

$\displaystyle f_{\max}=\max_{x\in[-1;4]}f(x)=f(4)=0.65;
f_{\min}=\min_{x\in[-1;4]}f(x)=f(0)=-0.75.$

    

        Упражнение 7.8   Найдите наибольшие и наименьшие значения функций на заданных отрезках:

а) $ f(x)=x^4-4x^3+4x^2-5$ на отрезке $ [-1;3]$;

б) $ f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}$ на отрезке $ [1;e]$;

в) $ f(x)=\cos x+x\sin x$ на отрезке $ [-\pi;\pi]$.

Ответы: а) $ f_{\max}=f(-1)=f(3)=4; f_{\min}=f(0)=f(2)=-5$;

б) $ f_{\max}=f(\sqrt{e})=\dfrac{1}{2e}; f_{\min}=f(1)=0$;

в) $ f_{\max}=f(-\frac{\pi}{2})=f(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2};
f_{\min}=f(-\pi)=f(\pi)=-1$.     

        Упражнение 7.9   Найдите интервалы возрастания и убывания, а также точки локального экстремума функции $ f(x)=x^3-6x^2+5$.

Подсказка:

Найдите производную и решите неравенства $ f'(x)>0$ и $ f'(x)<0$.

Решение:

Производная равна $ f'(x)=3x^2-12x=3x(x-4)$. Неравенство $ 3x(x-4)>0$ имеет решение $ x\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty)$; на этих двух интервалах $ f(x)$ возрастает. Неравенство $ 3x(x-4)<0$ имеет решение $ x\in(0;4)$; на этом интервале $ f(x)$ убывает. Следовательно, точка $ x=0$ -- точка локального максимума, а точка $ x=4$ -- точка локального минимума.

Ответ:

Интервалы возрастания: $ (-\infty;0)$ и $ (4;+\infty)$; интервал убывания: $ (0;4)$; точка локального максимума: $ x=0$, точка локального минимума: $ x=4$.     

        Упражнение 7.10   Найдите интервалы возрастания и убывания и точки локальных экстремумов функций:

а) $ f(x)=x^4-8x^2+1$;

б) $ f(x)=\dfrac{x^2-x-1}{x+2}$;

в) $ f(x)=\dfrac{x}{\ln x+1}$.

Ответы: а) интервалы возрастания: $ (-2;0)$ и $ (2;+\infty)$; интервалы убывания: $ (-\infty;-2)$ и $ (0;2)$; точка локального максимума $ x=0$; точки локального минимума $ x=\pm2$;

б) интервалы возрастания: $ (-\infty;-2-\sqrt{5})$ и $ (-2+\sqrt{5};+\infty)$; интервалы убывания: $ {(-2-\sqrt{5};-2)}$ и $ {(-2;-2+\sqrt{5})}$; точка локального максимума $ x=-2-\sqrt{5}$; точка локального минимума $ x=-2+\sqrt{5}$;

в) интервал возрастания: $ (1;+\infty)$; интервалы убывания: $ (0;\frac{1}{e})$ и $ (\frac{1}{e};1)$; точка локального минимума $ x=1$; точек локального максимума нет.     

        Упражнение 7.11   Найдите стационарные точки функции

$\displaystyle f(x)=x^4-2x^2+3$

и определите наличие в них локального экстремума.

Подсказка:

Стационарные точки задаются уравнением $ f'(x)=0$. Если вторая производная в стационарной точке положительна, то это точка локального минимума, а если отрицательна, то точка локального максимума.

Решение:

Найдём производную: $ f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)$; стационарные точки задаются уравнением $ 4x(x^2-1)=0$, то есть это точки $ x=0$ и $ x=\pm1$. Вторая производная равна $ f''(x)=12x^2-4$. Её значение в стационарных точках: $ f''(0)=-4<0$; $ f''(\pm1)=8>0$. Следовательно, в точке $ x=0$ -- локальный максимум, а в точках $ x=1$ и $ x=-1$ -- локальный минимум.

Ответ:

Имеется три стационарные точки: $ -1$, 0 и 1; $ -1$ и 1 -- точки локального минимума, а 0 -- точка локального максимума.     

        Упражнение 7.12   Найти стационарные точки функций и исследовать их на наличие локального экстремума:

а) $ f(x)=x^3-4x+2$;

б) $ f(x)=\dfrac{x^2+4}{x+2}$;

в) $ f(x)=x^3\ln x$.

Ответы: а) $ -\frac{2}{\sqrt{3}}$ -- точка локального максимума; $ \frac{2}{\sqrt{3}}$ -- точка локального минимума;

б) $ -2-2\sqrt{2}$ -- точка локального максимума; $ -2+2\sqrt{2}$ -- точка локального минимума;

в) $ \dfrac{1}{\sqrt[3]{e}}$ -- точка локального минимума; точек локального максимума нет.     

        Упражнение 7.13   Найдите интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции

$\displaystyle f(x)=-x^4+4x^2-3.$

Подсказка:

Интервалы выпуклости задаются неравенством $ f''(x)>0$, а интервалы вогнутости -- неравенством $ f''(x)<0$.

Решение:

Найдём вторую производную:

$\displaystyle f'(x)=-4x^3+8x; f''(x)=-12x^2+8=4(-3x^2+2).$

Неравенство $ -3x^2+2>0$ имеет решение $ x\in(-\sqrt{\frac{2}{3}};\sqrt{\frac{2}{3}})$; на этом интервале функция выпукла. Неравенство $ -3x^2+2<0$ имеет решение $ x\in(-\infty;-\sqrt{\frac{2}{3}})\cup(\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty)$; на этих двух интервалах функция вогнута.

В точках $ x=-\sqrt{\frac{2}{3}}$ и $ x=\sqrt{\frac{2}{3}}$ функция меняет направление выпуклости, так что эти точки являются точками перегиба.

Ответ:

Интервал выпуклости: $ (-\sqrt{\frac{2}{3}};\sqrt{\frac{2}{3}})$; интервалы вогнутости: $ (-\infty;-\sqrt{\frac{2}{3}})$ и $ (\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty)$; точки перегиба: $ -\sqrt{\frac{2}{3}}$ и $ \sqrt{\frac{2}{3}}$.     

        Упражнение 7.14   Найдите интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба следующих функций:

а) $ f(x)=x^6-3x^4$;

б) $ f(x)=(x^2+1)e^x$;

в) $ f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}$.

Ответы: а) Интервалы выпуклости: $ (-\infty;-\sqrt{\frac{6}{5}})$ и $ (\sqrt{\frac{6}{5}};+\infty)$; интервал вогнутости: $ (-\sqrt{\frac{6}{5}};\sqrt{\frac{6}{5}})$; точки перегиба: $ -\sqrt{\frac{6}{5}}$ и $ \sqrt{\frac{6}{5}}$.

б) Интервалы выпуклости: $ (-\infty;-3)$ и $ (-1;+\infty)$; интервал вогнутости: $ (-3;-1)$; точки перегиба: $ -3$ и $ -1$.

в) Интервалы выпуклости: $ (-\infty;-1)$ и $ (1;+\infty)$; интервал вогнутости: $ (-1;-1)$; точек перегиба нет.     

        Упражнение 7.15   Проведите полное исследование функций и постройте их графики (в затруднительных случаях характерные точки можно находить приближённо):

а) $ f(x)=\dfrac{x^3}{3-x^2}$;

б) $ f(x)=x^2e^{-x^2}$;

в) $ f(x)=x-2\mathop{\rm arctg}\nolimits x$.

Ответы: а) Функция нечётная;

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=(-\infty;-\sqrt{3})\cup(-\sqrt{3};\sqrt{3})\cup(\sqrt{3};+\infty);$

вертикальные асимптоты $ x=-\sqrt{3}$ и $ x=\sqrt{3}$, наклонная асимптота $ y=-x$. Точка локального максимума $ x=3$, при этом $ f_{\max}=-\dfrac{9}{2}$; точка локального минимума $ x=-3$, при этом $ f_{\min}=\dfrac{9}{2}$. Единственная точка перегиба $ x=0$.

Рис.7.52.График функции $ f(x)=\dfrac{x^3}{3-x^2}$


б) Функция чётная; $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$; горизонтальная асимптота $ y=0$. Точки локального максимума $ x=\pm1$; значение в этих точках $ f_{\max}=\dfrac{1}{e}$; точка локального минимума $ x=0$. Четыре точки перегиба: $ x=\pm\dfrac{\sqrt{5\pm\sqrt{17}}}{2}.$

Рис.7.53.График функции $ f(x)=x^2e^{-x^2}$


в) Функция нечётная; $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$; асимптоты $ y=x+\pi$ при $ x\to-\infty$ и $ y=x-\pi$ при $ x\to+\infty$. Точка локального максимума $ x=-1$, при этом $ f_{\max}=\dfrac{\pi}{2}-1$; точка локального минимума $ x=1$, при этом $ f_{\min}=1-\dfrac{\pi}{2}$. Единственная точка перегиба $ x=0$.

Рис.7.54.График функции $ f(x)=x-2\mathop{\rm arctg}\nolimits x$