‹-- Назад

Обзор некоторых элементарных функций

Для напоминания и повторения приведём обзор некоторых функций, изучаемых в школьной программе.

1. Линейная функция. Это функция вида $ f(x)=kx+b;\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$. Число $ k$ называется угловым коэффициентом, а число $ b$ -- свободным членом. Графиком $ {\Gamma}_f$ линейной функции служит прямая на координатной плоскости $ xOy$, не параллельная оси $ Oy$.

Угловой коэффициент $ k$ равен тангенсу угла $ {\alpha}$ наклона графика $ {\Gamma}_f$ к горизонтальному направлению -- положительному направлению оси $ Ox$.

Рис.1.8.График линейной функции -- прямая


2. Квадратичная функция. Это функция вида $ f(x)=ax^2+bx+c; \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$ ($ a\ne0$).

Графиком $ {\Gamma}_f$ квадратичной функции служит парабола с осью, параллельной оси $ Oy$. При $ b=c=0$ вершина параболы оказывается в точке $ O(0;0)$.

Рис.1.9.Парабола $ y=ax^2$ ($ a>0$)


В общем случае вершина лежит в точке $ M_0(x_0;y_0);x_0=-\frac{b}{2a};y_0=f(x_0)=c-\frac{b^2}{4a}$. Если $ a>0$, то "рога" параболы направлены вверх, если $ a<0$, то вниз.

Рис.1.10.Парабола с вершиной в точке $ M_0$ ($ a>0$)


3. Степенная функция. Это функция вида $ f(x)=x^{{\alpha}}$, $ {\alpha}\in\mathbb{R}$. Рассматриваются такие случаи:

а). Если $ {\alpha}\in\mathbb{N}$, то $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$. Тогда $ f(0)=0$, $ f(1)=1$; если число $ {\alpha}$ -- чётное, то и функция $ f$ -- чётная (то есть $ f(-x)=f(x)$ при всех $ x\in\mathcal{D}(f)$); если число $ {\alpha}$ -- нечётное, то и функция $ f$ -- нечётная (то есть $ f(-x)=-f(x)$ при всех $ x\in\mathcal{D}(f)$).

Рис.1.11.График степенной функции при $ {\alpha}=1,2,3,4$


б). Если $ {\alpha}\in\mathbb{Z}$, $ {\alpha}\leqslant 0$, то $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$. Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для $ {\alpha}>0$: если $ {\alpha}$ -- чётное число, то и $ f(x)=\dfrac{1}{x^{-{\alpha}}}$ -- чётная функция; если $ {\alpha}$ -- нечётное число, то и $ f(x)$ -- нечётная функция.

Рис.1.12.График степенной функции при $ {\alpha}=0,-1,-2,-3$


Снова заметим, что $ f(1)=1$ при всех $ {\alpha}$. Если $ {\alpha}=0$, то $ {f(x)=x^0=1}$ при всех $ x$, кроме $ x=0$ (выражение $ 0^0$ не имеет смысла).

в). Если $ {\alpha}$ -- не целое число, то, по определению, при $ {\alpha}>0$: $ \mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x\geqslant 0\}$; тогда $ f(0)=0$, $ f(1)=1$.

Рис.1.13.График степенной функции при $ {\alpha}>0$


При $ {\alpha}<0$, по определению, $ \mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}$; тогда $ f(1)=1$.

Рис.1.14.График степенной функции при $ {\alpha}<0$


4. Многочлен. Это функция вида $ f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$, где $ a_i\in\mathbb{R}$, $ a_0\ne0$. Число $ n\in\mathbb{N}$ называется степенью многочлена. При $ {n=1}$ и $ {n=2}$ многочлены являются соответственно линейной функцией и квадратичной функцией (квадратным трёхчленом) и рассмотрены выше. При $ a_0=1$ и $ a_i=0$ ( $ i=1,\dots,n$) получается степенная функция, которую мы также рассмотрели выше. В общем случае $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$; при чётном значении степени $ n$ характерный вид графика таков:

Рис.1.15.График многочлена чётной степени при $ a_0>0$


или таков:

Рис.1.16.График многочлена чётной степени при $ a_0<0$


а при нечётном значении степени $ n$ -- таков:

Рис.1.17.График многочлена нечётной степени при $ a_0>0$


или таков:

Рис.1.18.График многочлена нечётной степени при $ a_0<0$


5. Показательная функция (экспонента). Это функция вида $ f(x)=a^x$ ($ a>0$, $ a\ne1$). Для неё $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$, $ f(0)=1$, $ f(1)=a$, и при $ a>1$ график имеет такой вид:

Рис.1.19.График показательной функции при $ a>1$


При $ a<1$ вид графика такой:

Рис.1.20.График показательной функции при $ a<1$


Число $ a$ называется основанием показательной функции.

6. Логарифмическая функция. Это функция вида $ f(x)=\log_ax$ ($ a>0$, $ a\ne1$). Для неё $ \mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}$, $ f(1)=0$, $ f(a)=1$, и при $ a>1$ график имеет такой вид:

Рис.1.21.График логарифмической функции при $ a>1$


При $ a<1$ график получается такой:

Рис.1.22.График логарифмической функции при $ a<1$


Число $ a$ называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия.

7. Функция синус: $ f(x)=\sin x$. Для неё $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$; функция периодична с периодом $ 2\pi$ и нечётна. Её график таков:

Рис.1.23.График функции $ \sin x$


8. Функция косинус: $ f(x)=\cos x$. Эта функция связана с синусом формулой приведения: $ \cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2})$; $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$; период функции $ \cos$ равен $ 2\pi$; функция $ \cos$ чётна. Её график таков:

Рис.1.24.График функции $ \cos x$


9. Функция тангенс: $ f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ (в англоязычной литературе обозначается также $ \tan x$). По определению, $ \mathop{\rm tg}\nolimits x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$. Функция $ \mathop{\rm tg}\nolimits $ нечётна и периодична с периодом $ \pi$;

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(-\frac{\pi}{2}+k\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi),$

то есть $ x$ не может принимать значений $ x=\frac{\pi}{2}+k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$, при которых $ \cos x$ (стоящий в знаменателе) обращается в ноль.

Рис.1.25.График функции $ \mathop{\rm tg}\nolimits x$


10. Функция котангенс: $ f(x)=\mathop{\rm ctg}\nolimits x$ (в англоязычной литературе также $ \cot x$). По определению, $ \mathop{\rm ctg}\nolimits x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$. Если $ x\ne\dfrac{k\pi}{2}$ ( $ k\in\mathbb{Z}$), то $ \mathop{\rm ctg}\nolimits x=\dfrac{1}{\mathop{\rm tg}\nolimits x}$. Функция $ \mathop{\rm ctg}\nolimits $ нечётна и периодична с периодом $ \pi$;

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(k\pi;(k+1)\pi),$

то есть $ x$ не может принимать значения вида $ x=k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$, при которых $ \sin x$ обращается в 0.

Рис.1.26.График функции $ \mathop{\rm ctg}\nolimits x$


11. Абсолютная величина (модуль): $ f(x)=\vert x\vert$, $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$. Эта функция определяет расстояние на вещественной оси от точки $ x\in\mathbb{R}$ до точки 0:

$\displaystyle \vert x\vert=\left\{\begin{array}{l}
x,\mbox{ если }x\geqslant 0;\\
-x,\mbox{ если }x<0.
\end{array}\right.
$

Функция $ \vert x\vert$ чётная, её график такой:

Рис.1.27.График функции $ \vert x\vert$


12. Обратные тригонометрические функции. Это функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они определяются как функции, обратные к главным ветвям синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно, о чём подробнее в конце главы, в разделе Обратная функция.

13. Расстояние до начала координат на плоскости и в пространстве. На координатной плоскости $ \mathbb{R}^2=\{(x_1;x_2):x_1\in\mathbb{R},x_2\in\mathbb{R}\}$ расстояние $ r$ от точки $ M(x_1;x_2)$ до точки $ O(0;0)$ определяется по формуле $ r=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ (по теореме Пифагора) и, следовательно, задаёт функцию

$\displaystyle f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}; f(x_1;x_2)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}.$

Эта функция имеет область значений

$\displaystyle \mathcal{E}(f)=\{y\in\mathbb{R}:y\geqslant 0\}.$

График её ограничения на круг $ A\sbs\mathbb{R}^2$ построен в примере 1.8.

Аналогично, расстояние $ r$ в пространстве $ \mathbb{R}^3$ от точки $ M(x_1;x_2;x_3)$ до точки $ O(0;0;0)$ определяется по формуле $ r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$ и задаёт функцию

$\displaystyle f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}; f(x_1;x_2;x_3)=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x^2_3}.$

Эта функция имеет ту же область значений

$\displaystyle \mathcal{E}(f)=\{y\in\mathbb{R}:y\geqslant 0\},$

что и в двумерном случае.

14. Арифметическая прогрессия. Функция $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$, задаваемая формулой

$\displaystyle f(m)=a_1+(m-1)d,$

где $ a_1\in\mathbb{R}$, $ d\in\mathbb{R}$ -- фиксированные числа, а $ m\in\mathcal{D}(f)=\mathbb{N}$, называется арифметической прогрессией. Число $ a_1$ называется при этом первым членом прогрессии, а число $ d$ -- разностью прогрессии. Функцию $ f$ можно представить как ограничение на множество натуральных чисел $ \mathbb{N}$ линейной функции $ l(x)=dx+(a_1-d)$ с угловым коэффициентом $ d$ и свободным членом $ a_1-d$. Арифметическую прогрессию можно задать и другим, рекуррентным способом:

$\displaystyle f(1)=a_1; f(m)=f(m-1)+d$ при $\displaystyle m\geqslant 2.$

Уравнение, рекуррентно задающее арифметическую прогрессию, -- это линейное уравнение в конечных разностях первого порядка, с одним начальным условием $ f(1)=a_1$.

Рис.1.28.График арифметической прогрессии


15. Геометрическая прогрессия. Функция $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$, задаваемая формулой

$\displaystyle f(m)=a_1q^{m-1},$

где $ a_1\in\mathbb{R}$, $ q\in\mathbb{R}$ -- фиксированные числа, а $ m\in\mathcal{D}(f)=\mathbb{N}$, называется геометрической прогрессией. Число $ a_1$ называется при этом первым членом прогрессии, а число $ q$ -- знаменателем прогрессии. Функцию $ f$ (при $ q>0$, $ q\ne1$) можно представить как ограничение на множество натуральных чисел $ \mathbb{N}$ показательной функции с основанием $ q$, умноженной на постоянный коэффициент $ \dfrac{a_1}{q}$, то есть функции

$\displaystyle g(x)=\dfrac{a_1}{q}q^x.$

Рис.1.29.График геометрической прогрессии


Геометрическую прогрессию можно задать и иначе, рекуррентным способом:

$\displaystyle f(1)=a_1; f(m)=f(m-1)\cdot q$ при $\displaystyle m\geqslant 2.$