‹-- Назад

Выпуклость функции

        Определение 7.5   Функция $ f(x)$ называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если график функции $ y=f(x)$ идёт не выше хорды, соединяющей любые две точки графика $ (x_0;f(x_0))$ и $ (x_1;f(x_1))$ при $ x_0,x_1\in(a;b)$.

Пусть $ x_0<x_1$. Тогда любую точку отрезка $ [x_0;x_1]$ можно задать как $ {x_{{\alpha}}={\alpha}x_1+(1-{\alpha})x_0}$, $ {\alpha}\in[0;1]$, а любую точку хорды -- как $ {(x_{{\alpha}};{\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0))}$. Выражение $ {\ell(x_{{\alpha}})={\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0))}$ задаёт линейную функцию переменного $ {x=x_{{\alpha}}}$, график которой на отрезке $ {[x_0;x_1]}$ совпадает с хордой.

То, что график функции идёт не выше хорды, означает, что


при всех $ {\alpha}\in[0;1]$.

Аналогично определяется выпуклость вверх: функция $ f(x)$ называется выпуклой вверх (или вогнутой) на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если график функции $ y=f(x)$ идёт не ниже хорды, соединяющей любые две точки графика $ (x_0;f(x_0))$ и $ (x_1;f(x_1))$ при $ x_0,x_1\in(a;b)$. Это означает, что


при всех $ {\alpha}\in[0;1]$.     

Рис.7.30.Графики выпуклой и вогнутой функций


Легко видеть, что функция $ f(x)$ вогнута на интервале $ (a;b)$ в том и только том случае, когда функция $ g(x)=-f(x)$ выпукла на $ (a;b)$.

        Пример 7.28   Рассмотрим функцию $ f(x)=\vert x\vert$. Эта функция выпукла на любом интервале оси $ Ox$. Действительно, если интервал не содержит точки 0, то графики $ f(x)$ и $ \ell(x)$ на таком интервале совпадают, откуда следует, что неравенство (7.4) выполнено и функция выпукла. (Заметим, что на таком интервале верно и неравенство (7.5), так что $ f(x)$ одновременно и выпукла, и вогнута на таком интервале.) Если же точка 0 лежит в интервале $ (a,b)$, то $ a<0$ и $ b>0$, и тот факт, что хорда лежит выше графика, геометрически очевиден.     

Рис.7.31.Хорда лежит выше графика $ y=\vert x\vert$


        Пример 7.29   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2$; её график -- парабола $ y=x^2$.

Рис.7.32.Функция $ f(x)=x^2$ -- выпуклая


Мы привыкли изображать параболу именно так, что очевидно: хорда идёт выше графика на любом интервале $ (a;b)$. Подтвердим теперь это свойство формальной выкладкой. Имеем:

$\displaystyle f(x_{{\alpha}})=({\alpha}x_1+(1-{\alpha})x_0)^2=
 {\alpha}^2x_1^2+2{\alpha}(1-{\alpha})x_1x_0+(1-{\alpha})^2x_0^2\leqslant$    
$\displaystyle \leqslant {\alpha}^2x_1^2+{\alpha}(1-{\alpha})(x_1^2+x_0^2)+(1-{\alpha})^2x_0^2=
 {\alpha}x_1^2+(1-{\alpha})x_0^2=\ell(x_{{\alpha}}).$    

Здесь мы использовали известное неравенство: $ 2x_1x_0\leqslant x_1^2+x_0^2$ при всех $ x_1,x_0\in\mathbb{R}$.18     

        Теорема 7.9   Пусть функция $ f(x)$ определена на интервале $ (a;b)$ и $ x^*$ -- некоторая точка этого интервала. При всех $ x\ne x^*,\; x\in(a;b)$ определено разностное отношение -- функция

$\displaystyle t_{x^*}(x)=\dfrac{f(x)-f(x^*)}{x-x^*}.$

Тогда функция $ f$ выпукла на интервале $ (a;b)$ в том и только том случае, когда функция $ t_{x^*}(x)$ не убывает на множестве $ (a;x^*)\cup(x^*;b)$.

        Замечание 7.7   Функция $ t_{x^*}(x)$ равна тангенсу угла наклона хорды, одним из концов которой служит фиксированная точка $ (x^*;f(x^*))$, а вторым концом -- переменная точка графика $ (x;f(x))$. Тем самым, теорема означает, что у выпуклых функций угловые коэффициенты хорд графика не убывают, где бы ни был фиксирован один из концов хорды.

Рис.7.33.Угловой коэффициент хорды с фиксированным концом возрастает, если функция выпукла


Заметим также, что функция $ t_{x^*}(x)$ имеет следующее свойство:


Действительно,

$\displaystyle t_y(x)=\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}=t_x(y).$    

    

        Доказательство теоремы 7.9.     Выберем любые две точки $ x_1,x_2\in(a;b)$. Предположим, что $ x^*<x_1<x_2$ (случаи иного расположения точек $ x^*,x_1,x_2$ рассматриваются аналогично). Поскольку $ x_1\in(x^*;x_2)$, то $ x_1={\alpha}x^*+(1-{\alpha})x_2$ при некотором $ {\alpha}\in(0;1)$. Нетрудно видеть, что тогда $ {\alpha}=\dfrac{x_2-x_1}{x_2-x^*}$ и $ 1-{\alpha}=\dfrac{x_1-x^*}{x_2-x^*}$. Поэтому из выпуклости функции $ f(x)$ следует, что

$\displaystyle f(x_1)=f({\alpha}x^*+(1-{\alpha})x_2)\leqslant
\dfrac{x_2-x_1}{x_2-x^*}f(x^*)+\dfrac{x_1-x^*}{x_2-x^*}f(x_2).$

Умножая на $ x_2-x^*>0$, получаем:

$\displaystyle (x_2-x^*)f(x_1)\leqslant (x_2-x_1)f(x^*)+(x_1-x^*)f(x_1).$

Теперь вычтем $ (x_2-x^*)f(x^*)$ из обеих частей неравенства. Получим, после раскрытия скобок в правой части и приведения подобных членов:

$\displaystyle (x_2-x^*)(f(x_1)-f(x^*))\leqslant (x_1-x^*)(f(x_2)-f(x^*)).$

Теперь разделим обе части неравенства на $ x_1-x^*>0$ и $ x_2-x^*>0$ и получим:

$\displaystyle \dfrac{f(x_1)-f(x^*)}{x_1-x^*}\leqslant \dfrac{f(x_2)-f(x^*)}{x_2-x^*},$

то есть

$\displaystyle t_{x^*}(x_1)\leqslant t_{x^*}(x_2).$

Это означает, что функция $ t_{x^*}$ -- неубывающая.

Доказательство того, что из неубывания функции $ t_{x^*}$ следует выпуклость функции $ f(x)$, можно провести, если проделать все преобразования в обратном порядке.     

        Замечание 7.8   Очевидно, что аналогично доказывается следующее утверждение:

функция $ f(x)$ вогнута на интервале $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда при любом $ x^*\in(a;b)$ функция $ t_{x^*}(x)$ не возрастает на множестве $ (a;x^*)\cup(x^*;b)$.     

Доказанная теорема содержит хотя и важный, но всё же вспомогательный результат. На её основании мы получим следующее утверждение, которое уже гораздо удобнее применять на практике для исследования выпуклости.

        Теорема 7.10   Пусть функция $ f(x)$ имеет на $ (a;b)$ производную $ f'(x)$. Функция $ f(x)$ выпукла на $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда производная $ f'(x)$ не убывает на $ (a;b)$.

        Доказательство.     Пусть $ f(x)$ -- выпуклая функция. Возьмём точки $ a',b',x_1,x_2$ на интервале $ (a;b)$ так, чтобы они следовали в таком порядке: $ a<a'<x_1<x_2<b'<b$. По предыдущей теореме, функции $ t_{x_1}$ и $ t_{x_2}$ не убывают. Пользуясь также свойством (7.6), получаем цепочку:

$\displaystyle t_{a'}(x_1)=t_{x_1}(a')\leqslant t_{x_1}(x_2)=t_{x_2}(x_1)\leqslant t_{x_2}(b')=
t_{b'}(x_2).$

В итоге получили, что $ t_{a'}(x_1)=t_{b'}(x_2)$, или

$\displaystyle \dfrac{f(a')-f(x_1)}{a'-x_1}\leqslant \dfrac{f(b')-f(x_2)}{b'-x_2}.$

Перейдем в левой части к пределу при $ a'\to x_1-$, а затем в правой части при $ b'\to x_2+$. Так как, по предположению, производная в точках $ x_1$ и $ x_2$ существует, то односторонние пределы существуют и равны производным в соответствующих точках, то есть $ {f'(x_1)\leqslant f'(x_2)}$. Ввиду того, что точки $ x_1$ и $ {x_2>x_1}$ можно было выбирать произвольно, это означает, что $ f'(x)$ не убывает на $ {(a;b)}$.

Пусть теперь производная $ f'(x)$ -- неубывающая функция. Фиксируем точку $ {x^*\in(a;b)}$ и найдём производную функции $ t_{x^*}(x)=\dfrac{f(x)-f(x^*)}{x-x^*}$ при $ x\in(a;x^*)\cup(x^*;b)$. Она равна

$\displaystyle t'_{x^*}(x)=\dfrac{f'(x)(x-x^*)-(f(x)-f(x^*))}{(x-x^*)^2}.$

По формуле конечных приращений мы можем представить $ f(x)-f(x^*)$ в виде

$\displaystyle f(x)-f(x^*)=f'(c)(x-x^*),$

где $ c$ -- некоторая точка, лежащая между $ x$ и $ x^*$. Заметим, что при этом знак разности $ x-c$ -- тот же, что у разности $ x-x^*$. Получаем, что

$\displaystyle t'_{x^*}(x)=\dfrac{f'(x)-f'(c)}{x-x^*}.$

Так как $ f'$ -- неубывающая функция, то $ f'(x)-f'(c)\geqslant 0$ при $ x-c>0$ и, следовательно, при $ x-x^*>0$ и $ f'(x)-f'(c)\leqslant 0$ при $ x-c<0$ и, следовательно, при $ x-x^*<0$. В любом случае отношение неотрицательно, то есть $ t'_{x^*}(x)\geqslant 0$. По теореме 7.2 отсюда следует, что функция $ t_{x^*}(x)$ не убывает, а по теореме 7.9 -- что функция $ f(x)$ выпукла.     

        Замечание 7.9   Разумеется, верно следующее утверждение, аналогичное доказанной теореме:

дифференцируемая функция $ f$ вогнута на интервале $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда её производная $ f'(x)$ не возрастает.     

Если функция имеет во всех точках интервала вторую производную $ f''(x)$, то для исследования выпуклости можно воспользоваться следующим утверждением, которое вытекает из доказанной теоремы.

        Теорема 7.11   Пусть на интервале $ (a;b)$ функция $ f(x)$ имеет вторую производную $ f''(x)$. Функция $ f$ выпукла на $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда $ f''(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$, и вогнута тогда и только тогда, когда $ f''(x)\leqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$.

        Доказательство.     Производная $ f'(x)$ не убывает на $ (a;b)$ в том и только том случае, когда $ f''(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$, и не возрастает в на $ (a;b)$ в том и только том случае, когда $ f''(x)\leqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$. Поэтому утверждение теоремы сразу следует из теоремы 7.10 и замечания 7.9.     

Именно эту теорему чаще всего применяют для исследования выпуклости и вогнутости функции на заданном интервале, а также для нахождения интервалов выпуклости и интервалов вогнутости данной функции.

Рис.7.34. $ f''(x)\geqslant 0$ на интервалах выпуклости и $ f''(x)\leqslant 0$ на интервалах вогнутости


        Пример 7.30   Рассмотрим функцию $ f(x)=\vert x\vert^3$, то есть

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^3,&\mbox{ при }x\geqslant 0;\\
-x^3,&\mbox{ при }x<0.
\end{array}\right.$

Для этой функции

$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{array}{ll}
3x^2,&\mbox{ при }x\geqslant 0;\\
-3x^2,&\mbox{ при }x<0
\end{array}\right.$

(проверьте отдельно, что производная при $ x=0$ существует и равна 0) и

$\displaystyle f''(x)=\left\{\begin{array}{ll}
6x,&\mbox{ при }x\geqslant 0;\\
-6x,&\mbox{ при }x<0,
\end{array}\right.$

то есть $ f''(x)=6\vert x\vert$. (Также проверьте, что производная в точке 0 существует и равна 0.) Итак, $ f''(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$; отсюда следует, что функция $ f(x)$ выпукла на всей оси.     

Рис.7.35.Функция $ f(x)=\vert x\vert^3$ выпукла на всей оси


        Пример 7.31   Рассмотрим функцию примера 7.24: $ f(x)=x^4-2x^2$. Её производная равна $ {f'(x)=4x^3-4x}$; вторая производная $ f''(x)=12x^2-4$. Чтобы найти интервалы выпуклости, решим неравенство $ f''(x)\geqslant 0$, то есть $ 12x^2-4\geqslant 0$. Решением является объединение лучей: $ (-\infty;-\dfrac{\sqrt{3}}{3}]\cup[\dfrac{\sqrt{3}}{3};+\infty)$. Значит, на интервалах $ (-\infty;-\dfrac{\sqrt{3}}{3})$ и $ (\dfrac{\sqrt{3}}{3};+\infty)$ функция $ f(x)$ выпукла.

Для нахождения интервала вогнутости нужно решить неравенство $ f''(x)\leqslant 0$, то есть $ 12x^2-4\leqslant 0$. Решением является отрезок $ [-\dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{\sqrt{3}}{3}]$. Значит, на интервале $ (-\dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{\sqrt{3}}{3})$ функция $ f(x)$ вогнута.     


Рис.7.36.Интервалы выпуклости и вогнутости функции $ f(x)=x^4-2x^2$


Выпуклые функции обладают следующим весьма важным свойством: они могут иметь не более одного локального минимума на интервале выпуклости. А именно, верна следующая теорема.

        Теорема 7.12   Пусть $ f(x)$ -- выпуклая на $ (a;b)$ функция и $ x_0\in(a;b)$ -- точка локального минимума функции $ f$. Тогда $ \min\limits_{x\in(a;b)}f(x)=f(x_0).$

        Замечание 7.10   Теорема не означает, что функция не может иметь много точек локального минимума, однако утверждает, что во всех таких точках выпуклая функция принимает одно и то же значение $ f_{\min}=\min\limits_{x\in(a;b)}f(x).$     

        Доказательство теоремы.     Пусть $ x_0$ и $ x_1$ -- две различные точки локального минимума функции $ f(x)$, причём $ x_0<x_1$ и $ f(x_0)>f(x_1)$ (случай $ f(x_0)<f(x_1)$ разбирается аналогично). Положим $ x_{{\alpha}}={\alpha}x_1+(1-{\alpha})x_0$ и рассмотрим линейную функцию $ \ell(x)$, на графике которой лежит хорда, соединяющая точки $ (x_0;f(x_0))$ и $ (x_1;f(x_1))$. Так как функция $ f(x)$ выпукла, то $ f(x_{{\alpha}})\leqslant \ell(x_{{\alpha}})$ при всех $ {\alpha}\in[0;1]$, то есть при всех $ x_{{\alpha}}\in[x_0;x_1]$. Это неравенство верно, в том числе, и при любом $ x=x_{{\alpha}}$ из некоторой правой окрестности точки $ x_0$, то есть при $ x\in(x_0;x_0+{\delta})\sbs[x_0;x_1]$, $ 0<{\delta}\leqslant x_1-x_0$. Тем самым получаем для таких $ x$:

$\displaystyle f(x)\leqslant \ell(x)<f(x_0)=\ell(x_0).$

Однако это противоречит тому, что $ x_0$ -- точка локального минимума (из того, что $ x_0$ -- точка локального минимума, следует, что при достаточно малом $ {\delta}>0$ при $ x\in(x_0;x_0+{\delta})$ имеет место неравенство $ f(x)\geqslant f(x_0)$).

Значит, предположение о том, что $ f(x_0)>f(x_1)$, не может быть верным. Точно так же доказывается, что неверно и предположение о том, что $ f(x_0)<f(x_1)$. Следовательно, $ f(x_0)=f(x_1)$, то есть во всех точках локального экстремума (если их не одна) функция $ f(x)$ принимает одно и то же значение.     

Тем самым, если о функции $ f(x)$ известно, что она выпукла, и мы нашли некоторую точку локального минимума $ x_0$, то значение в этой точке -- это минимальное значение функции на всём рассматриваемом интервале: $ f_{\min}=f(x_0)$. Если нас интересует лишь это минимальное значение, а не полный набор точек минимума, то мы можем других точек локального минимума не искать.

        Замечание 7.11   Свойство, аналогичное доказанной теореме, верно и для максимумов вогнутых функций:

если $ f$ -- вогнутая функция на интервале $ (a;b)$ и $ x_0,x_1\in(a;b)$ -- точки локального максимума, то

$\displaystyle f(x_0)=f(x_1)=\max_{x\in(a;b)}f(x)=f_{\max}.$

Для доказательства достаточно вспомнить, что $ g=-f$ -- выпуклая функция и что $ \min(-f)=-\max f$.     

        Замечание 7.12   Теорема 7.11 проясняет тот факт, что условие $ f''(x_0)>0$ достаточно для наличия локального минимума в стационарной точке $ x_0$ функции $ f$. Действительно, из условия $ f''(x)>0$ следует, что функция $ f(x)$ выпукла, то есть её график $ y=f(x)$ "провисает вниз" в окрестности точки $ x_0$, в которой график имеет горизонтальную касательную.

Рис.7.37.Выпуклость функции в окрестности точки минимума


Аналогично, график гладкой функции имеет выпуклость вверх в окрестности точки локального максимума. Поэтому неравенство $ f''(x_0)<0$ даёт достаточное условие локального максимума.

Рис.7.38.Вогнутость функции в окрестности точки максимума


    

Изучим теперь связь выпуклости и вогнутости функции $ f(x)$ с взаимным расположением графика функции и касательных, проведённых к этому графику.

        Теорема 7.13   Пусть функция $ f(x)$ имеет на интервале $ (a;b)$ производную $ f'(x)$. Функция $ f(x)$ выпукла на $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда график $ y=f(x)$ лежит (при $ x\in(a;b)$) не ниже любой касательной $ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$, проведённой при любом $ x_0\in(a;b)$, то есть выполняется неравенство

$\displaystyle f(x)\geqslant f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

при всех $ x,x_0\in(a;b)$.

Рис.7.39.График выпуклой функции идёт не ниже любой своей касательной


        Доказательство.     Применяя формулу конечных приращений, получаем:

$\displaystyle (f(x)-f(x_0))-f'(x_0)(x-x_0)=f'(c)(x-x_0)-f'(x_0)(x-x_0)=
(f'(c)-f'(x_0))(x-x_0),$

где $ c$ лежит между $ x$ и $ x_0$. Но по теореме 7.10 производная выпуклой функции не убывает, так что $ f'(c)-f'(x_0)\geqslant 0$ при $ x-x_0>0$ и $ f'(c)-f'(x_0)\leqslant 0$ при $ x-x_0<0$. В любом случае получаем, что произведение $ (f'(c)-f'(x_0))(x-x_0)$ неотрицательно, откуда $ f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)\geqslant 0$. Отсюда следует неравенство из утверждения теоремы.     

        Замечание 7.13   Очевидно, что для вогнутых функций верно аналогичное утверждение:

дифференцируемая функция вогнута на интервале $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда её график идёт не выше любой касательной:

$\displaystyle f(x)\leqslant f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

при всех $ x,x_0\in(a;b)$.     

Рис.7.40.График вогнутой функции идёт не выше любой своей касательной


        Определение 7.6   Точкой перегиба функции $ f(x)$ называется такая точка $ x_0$, которая разделяет два интервала $ (a;x_0)$ и $ (x_0;b)$, на одном из которых функция является выпуклой, а на другом -- вогнутой.     

Рис.7.41.Точка перегиба разделяет интервалы с разным направлением выпуклости


В случае, если вторая производная $ f''(x)$ непрерывна, в точке перегиба $ x_0$ непременно должно выполняться равенство $ f''(x_0)=0$, поскольку, согласно теореме 7.11, $ f''(x)$ должна менять знак при переходе через точку $ x_0$. Верно даже несколько более сильное утверждение:

        Теорема 7.14   Пусть $ x_0$ -- точка перегиба функции $ f(x)$, причём существует $ f''(x_0)$. Тогда $ f''(x_0)=0$.

        Доказательство.     Из существования $ f''(x_0)$ следует, что $ f'(x)$ существует при $ x$ из некоторого интервала $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$, окружающего точку $ x_0$. По предположению, при достаточно малом $ {\delta}>0$, на интервалах $ (x_0-{\delta};x_0)$ и $ (x_0;x_0+{\delta})$ направление выпуклости функции разное; пусть для определённости $ f(x)$ выпукла на $ (x_0-{\delta};x_0)$ и вогнута на $ (x_0;x_0+{\delta})$. Тогда функция $ f'(x)$ не убывает на $ (x_0-{\delta};x_0)$ и не возрастает на $ (x_0;x_0+{\delta})$, согласно теореме 7.10 и замечанию 7.9. Значит, $ \dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}\geqslant 0$ при $ x\in(x_0-{\delta};x_0)$ и $ \dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}\leqslant 0$ при $ x\in(x_0;x_0+{\delta})$. Переходя в этих двух неравенствах к пределу при базе $ x\to x_0-$ и $ x\to x_0+$ соответственно и замечая, что оба предела равны $ f''(x_0)$, получаем, что одновременно $ f''(x_0)\geqslant 0$ и $ f''(x_0)\leqslant 0$. Значит, $ f''(x_0)=0$, что и требовалось доказать.     

Заметим однако, что не любая точка $ x_0$, такая что $ f''(x_0)=0$, обязана быть точкой перегиба: при переходе через такую точку функция $ f''(x)$ может и не сменить знак, тогда перегиба в точке $ x_0$ нет.

        Пример 7.32   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^4$; её вторая производная $ f''(x)$ равна $ 12x^2$ и равняется 0 при $ x=0$. Однако поскольку $ f''(x)=12x^2\geqslant 0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$, функция $ f(x)$ выпукла на всей оси $ Ox$, согласно теореме 7.11. Точка 0 не разделяет здесь интервалы разного направления выпуклости.     

Рис.7.42.Точка 0 не разделяет интервалы разного направления выпуклости функции $ f(x)=x^4$


        Пример 7.33   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^3$. Тогда $ f''(x)=6x$ и $ f''(x)>0$ при $ x>0$ и $ f''(x)<0$ при $ x<0$. Точка $ x_0=0$ (в которой $ f''(0)=0$) разделяет интервал вогнутости $ (-\infty;0)$ и интервал выпуклости $ (0;+\infty)$. Значит, $ x_0=0$ -- точка перегиба функции $ f(x)=x^3$.     

Рис.7.43.Точка 0 -- точка перегиба функции $ f(x)=x^3$


        Пример 7.34   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2\mathop{\rm sign}\nolimits x=\left\{\begin{array}{ll}
x^2,&\mbox{ при }x\geqslant 0;\\
-x^2,&\mbox{ при }x<0.
\end{array}\right.
$ Тогда $ f'(x)=\left\{\begin{array}{ll}
2x,&\mbox{ при }x\geqslant 0;\\
-2x,&\mbox{ при }x<0,
\end{array}\right.
$ и $ f''(x)=\left\{\begin{array}{ll}
2,&\mbox{ при }x>0;\\
-2,&\mbox{ при }x<0
\end{array}\right.
$ (при $ x=0$ вторая производная не существует). Тогда $ f''(x)=2>0$ при $ x>0$ и $ f''(x)=-2<0$ при $ x<0$. Точка $ x_0=0$ (в которой $ f''$ не существует) разделяет интервал вогнутости $ (-\infty;0)$ и интервал выпуклости $ (0;+\infty)$. Значит, $ x_0=0$ -- точка перегиба.     

Рис.7.44.Точка 0 -- точка перегиба функции $ f(x)=x^2\mathop{\rm sign}\nolimits x$


        Пример 7.35   Рассмотрим функцию $ f(x)=\sqrt[3]{x}$. Тогда $ f''(x)=-\dfrac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}$ (проверьте, что это так!). При $ x=0$ вторая производная (как и первая) не существует. Однако снова $ f''(x)>0$ при $ x>0$ и $ f''(x)<0$ при $ x<0$. Значит, $ x_0=0$ -- точка перегиба.     

Рис.7.45.Точка 0 -- точка перегиба функции $ f(x)=\sqrt[3]{x}$


        Упражнение 7.2   Проверьте, пользуясь определением точки перегиба, что если $ f(x)$ -- линейная функция ($ f(x)=kx+b$), то любая точка $ x$ есть её точка перегиба.

Проверьте, что любая точка $ x$ (в том числе $ x=0$) есть точка перегиба функции $ f(x)=\vert x\vert$.     

Итак, точки перегиба содержатся в списке тех точек $ x_0$, в которых либо $ f''(x_0)=0$, либо $ f''(x_0)$ не существует. Однако такая точка $ x_0$ может и не оказаться точкой перегиба; для выяснения нужно исследовать поведение функции слева и справа от "подозрительной" точки $ x_0$.