‹-- Назад

Достаточные условия локального экстремума

В предыдущих примерах мы видели, что хотя необходимое условие не гарантировало наличие экстремума в критической точке, мы смогли исследовать поведение функции в окрестности этой точки и выяснить, имеется ли в ней экстремум и если да, то какого рода. Однако для выяснения этого нам пришлось иной раз прибегать к искусственным преобразованиям функции, которые во общем случае могут быть не очевидны или затруднительны. В данном разделе мы рассмотрим несколько общих теорем, позволяющих исследовать поведение функции в критической точке.

        Теорема 7.5   Пусть $ x_0$ -- критическая точка функции $ f(x)$. Если функция $ f(x)$ не убывает в некоторой левой окрестности $ E_-=(x_0-{\delta}_1;x_0)$ точки $ x_0$ и не возрастает в некоторой её правой окрестности $ E_+=(x_0;x_0+{\delta}_2)$, то точка $ x_0$ -- точка локального максимума.

Если же функция $ f(x)$ не возрастает в некоторой левой окрестности $ {E_-=(x_0-{\delta}_1;x_0)}$ и не убывает в некоторой правой окрестности $ {E_+=(x_0;x_0+{\delta}_2)}$, то точка $ x_0$ -- точка локального минимума.

        Доказательство.     Если $ f(x)$ не убывает в $ E_-$, то $ f(x_0)\geqslant f(x)$ при всех $ x\in E_-$, поскольку из непрерывности $ f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$. Точно так же, $ f(x_0)\geqslant f(x)$ при всех $ {x\in E_+}$. Выберем из чисел $ {\delta}_1$ и $ {\delta}_2$ наименьшее: $ {\delta}=\min\{{\delta}_1;{\delta}_2\}$ и рассмотрим симметричную окрестность $ {E=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})}$. При $ x\in E$, очевидно, $ f(x)\leqslant f(x_0)$, то есть $ x_0$ -- точка локального максимума.

Вторая половина утверждения теоремы сводится к первой, если положить $ f_1(x)=-f(x)$ и заметить, что функция $ f_1$ не убывает в $ E_-$ и не возрастает в $ E_+$; локальный максимум функции $ f_1$ соответствует локальному минимуму функции $ f$.     

        Замечание 7.4   Найденное достаточное условие локального экстремума гарантирует наличие экстремума в точке $ x_0$. Однако оно не является необходимым: можно найти такую функцию $ f(x)$, которая имеет экстремум (например, минимум) в некоторой точке $ x_0$, однако не монотонна ни в какой левой окрестности и ни в какой правой окрестности этой точки. Примером может служить функция

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^2+x^2\sin^2\frac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\
0,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.
$

График этой функции зажат между двумя параболами $ y=x^2$ и $ y=2x^2$ и в окрестности точки 0 имеет бесконечно много промежутков монотонности, разделённых стационарными точками, так что $ f(x)$ не монотонна ни на каком интервале вида $ (-{\delta};0)$ или $ (0;{\delta})$. В точке 0 функция непрерывна (по теореме "о двух милиционерах") и имеет минимум, так как при всех $ x\ne0$ $ f(x)\geqslant x^2>0$.

Заметим кстати, что производная этой функции равна

$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{array}{ll}
2x+2x\sin^2\frac{1}{x}-\sin\frac{2}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\
0,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.
$

Эта производная имеет в точке $ x=0$ разрыв второго рода.     

        Теорема 7.6   Пусть $ x_0$ -- критическая точка функции $ f(x)$, и у этой функции существует производная $ f'(x)$ в некоторой проколотой окрестности $ {(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})}$. Если при этом в левой окрестности $ (x_0-{\delta};x_0)$ имеет место неравенство $ f'(x)\geqslant 0$, а в правой окрестности $ (x_0;x_0+{\delta})$ -- неравенство $ f'(x)\leqslant 0$, то точка $ x_0$ -- точка локального максимума; если же в левой окрестности выполнено неравенство $ f'(x)\leqslant 0$, а в правой окрестности -- неравенство $ f'(x)\geqslant 0$, то точка $ x_0$ -- точка локального минимума. Наконец, если производная в левой и в правой окрестности имеет один и тот же знак, то точка $ x_0$ не является точкой локального экстремума.

        Доказательство.     Доказательство первых двух утверждений теоремы сразу же следует из предыдущей теоремы и теоремы 7.2 о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции: из неравенства $ f'(x)\geqslant 0$ следует неубывание функции $ f(x)$, а из неравенства $ f'(x)\leqslant 0$ -- её невозрастание. Последнее утверждение теоремы также очевидно.     

Рис.7.25.Связь смены знака производной с локальными экстремумами


Доказанную теорему можно сформулировать следующим образом:

если производная $ f'(x)$ меняет знак с $ +$ на $ -$ при переходе через критическую точку $ x_0$, то в этой точке -- локальный максимум функции $ f(x)$; если знак производной меняется с $ -$ на $ +$, то в точке $ x_0$ -- локальный минимум; если же знак производной при переходе через $ x_0$ не изменяется, то локального экстремума в точке $ x_0$ функция $ f(x)$ не имеет.

Следующая теорема позволяет обойтись для обнаружения экстремума исследованием функции только в точке $ x_0$ (а не в её окрестности, как предыдущие теоремы), но зато требует привлечения второй производной.

        Теорема 7.7   Пусть $ x_0$ -- стационарная точка функции $ f(x)$, и в этой точке существует вторая производная $ f''(x_0)$, причём $ f''(x_0)\ne0$. Тогда при $ f''(x_0)<0$ точка $ x_0$ есть точка локального максимума, а при $ f''(x_0)>0$ -- локального минимума.

        Доказательство.     Поскольку $ f''(x)=(f'(x))'$, то по определению производной

$\displaystyle f''(x_0)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}.$

Пусть $ f''(x_0)<0$. Тогда из существования предела следует, что для любого $ x\ne x_0$ из некоторой достаточно малой проколотой окрестности $ E=(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})$ точки $ x_0$ выполняется то же неравенство для допредельного выражения, то есть

$\displaystyle \dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}<0$

при $ x\in E$. Поскольку, по предположению теоремы, $ x_0$ -- стационарная точка, то $ f'(x_0)=0$, откуда $ \dfrac{f'(x)}{x-x_0}<0$, то есть $ f'(x)$ имеет знак, противоположный знаку $ x-x_0$: $ f'(x)>0$ при $ x\in(x_0-{\delta};x_0)$ и $ f'(x)<0$ при $ x\in(x_0;x_0+{\delta})$. Остаётся лишь применить теперь предыдущую теорему, из которой следует, что $ x_0$ -- точка локального максимума.

Доказательство для случая $ f''(x_0)>0$ совершенно аналогично.     

        Пример 7.24   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^4-2x^2$. Её производная равна $ {f'(x)=4x^3-4x}$; решая уравнение $ 4x^3-4x=0$, находим стационарные точки функции $ f(x)$: это $ x_1=-1;x_2=0;x_3=1$. Чтобы определить поведение функции в этих стационарных точках, найдём вторую производную и выясним, какой она имеет знак в каждой из этих трёх точек. Имеем: $ {f''(x)=12x^2-4}$. Отсюда $ {f''(x_1)=f''(-1)=12-4=8>0}$, следовательно, в точке $ x_1=-1$ функция $ f(x)$ имеет локальный минимум; то же в точке $ x_3=1$, поскольку $ f''(1)$ также равняется 8. В каждой из этих двух точек значение функции равно $ f(\pm1)=1^4-2\cdot1^2=-1$.

В точке $ x_2=0$ получаем $ {f''(0)=12\cdot0^2-4=-4<0}$, поэтому в точке 0 функция $ f(x)$ имеет локальный максимум. Значение $ f(x)$ в этой точке равно 0.     


Рис.7.26.Три локальных экстремума функции $ f(x)=x^4-2x^2$


        Замечание 7.5   В последней теореме ничего не говорится о том, что происходит в стационарной точке $ x_0$ в случае, когда $ f''(x_0)=0$. В этом случае в точке $ x_0$ может быть как локальный экстремум (возможен и максимум, и минимум), так и не быть экстремума. В этом нас убеждают следующие три примера.     

        Пример 7.25   Функция $ f(x)=x^3$ имеет единственную стационарную точку $ {x_0=0}$. Вторая производная $ f''(x)=6x$ принимает в этой точке значение 0, сама же функция $ f(x)$ не имеет экстремума в точке 0.     

Рис.7.27.Функция $ f(x)=x^3$ не имеет экстремума в стационарной точке 0


        Пример 7.26   Функция $ f(x)=x^4$ также имеет единственную стационарную точку $ x_0=0$. Вторая производная $ f''(x)=12x^2$ принимает в этой точке значение 0, сама же функция $ f(x)$ имеет в точке 0 минимум.     

Рис.7.28.Функция $ f(x)=x^4$ имеет минимум в стационарной точке 0, в которой $ f''(x)=0$


        Пример 7.27   Функция $ f(x)=-x^4$ также имеет единственную стационарную точку $ x_0=0$. Её вторая производная $ f''(x)=-12x^2$ принимает в стационарной точке значение 0, а сама функция $ f(x)$ имеет в этой точке максимум.     

Рис.7.29.Функция $ f(x)=-x^4$ имеет максимум в стационарной точке 0, в которой $ f''(x)=0$


Для того, чтобы разобраться в поведении функции $ f(x)$ в такой стационарной точке $ x_0$, в которой $ f''(x_0)=0$, можно применить такую теорему:

        Теорема 7.8   Пусть функция $ f(x)$ имеет $ k$-ю производную в некоторой окрестности точки $ x_0$ и эта производная $ f^{(k)}(x)$ непрерывна в точке $ x_0$. Предположим, что

$\displaystyle f'(x_0)=0,\;f''(x_0)=0,\;\dots,\;f^{(k-1)}(x_0)=0,\;f^{(k)}(x_0)\ne0.$

Тогда, если число $ k$ -- нечётное, то в точке $ x_0$ функция $ f(x)$ не имеет локального экстремума; если же число $ k$ -- чётное, то при $ f^{(k)}(x_0)<0$ в точке $ x_0$ функция имеет локальный максимум, а при $ f^{(k)}(x_0)>0$ -- локальный минимум.

        Доказательство.     Для доказательства заметим, что если разложить $ f(x)$ по формуле Тейлора в точке $ x_0$ с остаточным членом в форме Лагранжа, то получим

$\displaystyle f(x)=f(x_0)+\dfrac{f^{(k)}(x_{{\theta}})}{k!}(x-x_0)^k$

(где $ x_{{\theta}}$ лежит между $ x$ и $ x_0$), поскольку слагаемые со степенями бинома $ x-x_0$, меньшими $ k$, имеют, по предположению, нулевые коэффициенты. Следовательно, приращение функции $ {\Delta}f=f(x)-f(x_0)$ можно представить в виде

$\displaystyle {\Delta}f=\dfrac{f^{(k)}(x_{{\theta}})}{k!}(x-x_0)^k.$

Поскольку $ f^{(k)}(x_0)\ne0$ и $ f^{(k)}(x)$ непрерывна в точке $ x_0$, то в некоторой окрестности точки $ x_0$ она сохраняет тот же знак, что у числа $ f^{(k)}(x_0)\ne0$, в частности, знак числа $ \dfrac{f^{(k)}(x_{{\theta}})}{k!}$ при $ x$, близких к $ x_0$, -- тот же, что у числа $ f^{(k)}(x_0)$.

Мы видим, что при нечётном $ k$ приращение $ {\Delta}f$ меняет знак при переходе через точку $ x_0$, поскольку меняет знак множитель $ (x-x_0)^k$ в правой части. Значит, в этом случае локального экстремума в точке $ x_0$ нет.

При чётном $ k$ этот множитель положителен при всех $ x\ne x_0$, следовательно, приращение $ {\Delta}f$ (при малых $ x-x_0\ne0$) имеет тот же знак, что и $ f^{(k)}(x_0)$: $ {\Delta}f<0$ при $ f^{(k)}(x_0)<0$ (неравенство $ {\Delta}f<0$ означает, что $ x_0$ -- точка локального максимума) и $ {\Delta}f>0$ при $ f^{(k)}(x_0)>0$ (неравенство $ {\Delta}f>0$ означает, что $ x_0$ -- точка локального минимума).     

        Замечание 7.6   Даже в этом усиленном виде ( теорема 7.8) достаточный признак экстремума, связанный со значениями производных высших порядков, не всегда отвечает на вопрос о том, есть ли локальный экстремум в стационарной точке. Дело в том, что, как мы видели выше, существуют такие функции, у которых все производные в некоторой точке $ x_0$ обращаются в 0, и тем не менее функция отлична от 0 всюду, кроме этой точки. Примером может служить функция, которую мы рассматривали в главе 6 (замечание 6.2):

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
e^{-\frac{1}{x^2}},&\mbox{ при }x\ne0;\\
0,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.$

Эта функция имеет стационарную точку $ x_0=0$, характер которой нельзя распознать, применив теорему 7.8, поскольку $ f^{(k)}(0)=0$ при всех $ k\in\mathbb{N}$. Однако очевидно, что $ f(x)>0$ при всех $ x\ne0$, так что $ x_0=0$ -- точка минимума функции $ f(x)$.

Кроме того, заметим, что может быть не выполнено предположение о непрерывности производной $ k$-го порядка в точке $ x_0$, даже если эта производная существует при всех $ x$. В качестве примера рассмотрите самостоятельно функцию

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^4\left(2+\sin\frac{1}{x}\right),&\mbox{ при }x\ne0;\\
0,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.$

Эта функция имеет минимум (равный 0) в точке $ x=0$. Производная этой функции существует при всех $ x$ и равна

$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^2\left[4x\left(2+\sin\frac{1}{x...
...ac{1}{x}\right],&\mbox{ при }x\ne0;\\
0,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.$

Найдите и исследуйте вторую производную этой функции.