‹-- Назад

Упражнения

        Упражнение 6.5   Найдите разложение по формуле Тейлора в точке $ x_0=0$ функций
а) $ f(x)=e^{-x}$;
б) $ f(x)=e^{3x}$;
в) $ f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$;
г) $ f(x)=\sin x^2$;
д) $ f(x)=\cos3x$;
е) $ f(x)=\mathop{\rm ch}\nolimits \sqrt{x}$;
ж) $ f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$;
з) $ f(x)=\sqrt{1-x^2}$.

Ответы:

а) $ e^{-x}=1-x+\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^3}{3!}+\ldots+(-1)^n\dfrac{x^n}{n!}+
R_n(x)$;

б) $ e^{3x}=1+3x+\dfrac{3^2}{2!}x^2-\dfrac{3^3}{3!}x^3+\ldots+
(-1)^n\dfrac{3^n}{n!}x^n+R_n(x)$;

в) $ e^{-\frac{x^2}{2}}=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{2^22!}-
\dfrac{x^6}{2^33!}+\ldots+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{2^nn!}+R_{2n+1}(x)$;

г) $ \sin x^2=x^2-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^{10}}{5!}-\frac{x^{14}}{7!}+\ldots+
(-1)^{k-1}\dfrac{x^{4k-2}}{(2k-1)!}+R_{4k+1}(x)$;

д) $ \cos3x=1-\frac{3^2}{2!}x^2+\frac{3^4}{4!}x^4-\frac{3^6}{6!}x^6+\ldots+
(-1)^k\frac{3^{2k}}{(2k)!}x^{2k}+R_{2k+1}(x)$;

е) $ \mathop{\rm ch}\nolimits \sqrt{x}=1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{4!}+\frac{x^3}{6!}+\ldots+
\frac{x^k}{(2k)!}+R_k(x)$;

ж) $ \dfrac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\ldots+(-1)^kx^{2k}+R_{2k+1}(x)$;

з) $ \sqrt{1-x^2}=1+\dfrac{1}{2}x^2+
\dfrac{1\cdot3}{2\cdot4}x^4+
\dfrac{1\cdot3\...
...1\cdot3\cdot\ldots\cdot(2k-1)}{2\cdot4\cdot\ldots\cdot(2k)}x^{2k}+
R_{2k+1}(x)$.     

        Упражнение 6.6   Найдите следующие пределы, применив разложение числителя и знаменателя по формуле Тейлора:
а) $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{x^3}-1-x^3}{\sin3x^2-3x^2}$;
б) $ \lim\limits_{x\to0}
\dfrac{\ln(1-x^2)+x^2+\frac{x^4}{2}}{e^{2x^2}-1-2x^2-2x^4}$.

Ответы:
а) $ -\frac{1}{9}$;
б) $ -\frac{1}{4}$.