‹-- Назад

Второй способ задания функции: с помощью формулы

Если множество $ A=\mathcal{D}(f)$ бесконечно, то способ перечисления значений уже не годится. В этом случае функция $ f:x\mapsto y$ может быть задана некоторой формулой, позволяющей по каждому значению аргумента $ x$ найти соответствующее ему значение $ y$, например:

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \arcsin x,$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=[-1;1];$  
$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
x^2\mbox{, если }x\geqslant 0,\\
-x^2\mbox{, если }x<0,
\end{array}\right.,\quad
\mbox{ при }\mathcal{D}(f)=\mathbb{R};$  
$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[4]{x},$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=[0;+\infty);$  
$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \ln(1-x),$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=(-\infty;1);$  
$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \ln x_1x_2,$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:x_1x_2>0\}\sbs\mathbb{R}^2.$  

        Замечание 1.3   Функции, заданные одной и той же формулой, но на разных множествах $ A$, считаются различными. Так, функция $ f(x)=\arcsin x$ при $ x\in[0;1]$ и функция $ g(x)=\arcsin x$ при $ x\in[-1;1]$ -- это две разные функции, так как функция $ f$ устанавливает соответствие между точками множества $ [0;1]$ и некоторыми точками числовой прямой, а функция $ g$ -- между точками другого множества $ [-1;1]$ и точками числовой прямой. Конечно, две эти функции -- "близкие родственники", так как $ {f(x)=g(x)}$ при всех $ {x\in[0;1]}$.     

        Определение 1.6   Если дана функция $ f:A\to B$, и $ \wt A\sbs A$, то мы можем получить новую функцию, рассматривая значения функции $ f$ только на элементах $ x\in\wt A$. Эта функция $ \wt f:\wt A\to B$ определена равенством $ \wt f(x)=f(x)$ при $ x\in\wt A$. Функция $ \wt f$ называется ограничением функции $ f$ на подмножество $ \wt A\sbs A$ её области определения $ A=\mathcal{D}(f)$ и обозначается $ f\vert _{\wt A}$, то есть $ \wt f=f\vert _{\wt A}$.     

        Пример 1.12   Пусть $ A=\mathbb{R}^2=\{(x;y):x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}$ -- числовая плоскость и функция $ f$ задана формулой

$\displaystyle f(x;y)=x^2+2xy-y^2.$

Рассмотрим на плоскости $ A$ подмножество -- прямую линию $ L$, заданную уравнением $ x+y=1$. Тогда мы можем рассмотреть в качестве аргументов функции $ f\vert _L$ точки только прямой $ L$. Ограничение $ f\vert _L(x;y)$ определено только при $ x+y=1$, поэтому его, кроме исходной формулы

$\displaystyle f\vert _L(x;y)=x^2+2xy-y^2,\quad x+y=1,$

можно задать такими формулами:

$\displaystyle f\vert _L(x;y)=x^2+2x(1-x)-(1-x)^2=-2x^2+4x-1,\quad x+y=1$ (1.1)

(так как $ y=1-x$ на прямой $ L$), или

$\displaystyle f\vert _L(x;y)=(1-y)^2+2(1-y)y-y^2=-2y^2+1,\quad x+y=1$ (1.2)

(так как $ x=1-y$ на прямой $ L$). Во всех точках $ (x;y)$ прямой $ L$ все три формулы дают одно и то же значение функции $ f\vert _L$. Мы видим, что формула (1.1) даёт для $ f\vert _L$ те же значения, что функция одного переменного $ x$: $ f_1(x)=-2x^2+4x-1$, а формула (1.2) -- те же значения, что функция одного переменного $ y$: $ f_2(y)=-2y^2+1$.

Две последние функции называются параметризациями ограничения $ f\vert _L$.     

        Пример 1.13   Пусть $ f(x)=x_1^2+2x_1+3x_2-x_2^2$ -- функция, заданная во всех точках плоскости $ \mathbb{R}^2=\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)=x\}$. Пусть $ \wt A=l$ -- прямая $ x_2=1$ на плоскости $ \mathbb{R}^2$. Тогда функция $ \wt f(x)=f\vert _l(x)$ равна $ x_1^2+2x_1^+3\cdot1-1^2=x_1^2+2x_1+2$. Формально ограничение зависит от точек $ (x_1,x_2)$ плоскости $ \mathbb{R}^2$, но только таких, что $ x_2=1$. Поэтому задание этого ограничения $ \wt f(x_1,x_2)$ эквивалентно заданию числовой функции одного переменного $ g(x_1)=x_1^2+2x_1+2$. Функция $ g$ -- это одна из возможных параметризаций функции $ f\vert _l$.     

        Замечание 1.4   Во многих учебных примерах при задании функции $ f$ при помощи формулы не указывают область определения $ \mathcal{D}(f)$. При этом по умолчанию предполагается, что область определения $ \mathcal{D}(f)$ -- максимально допустимая, то есть она состоит из всех таких значений аргумента $ x$, для которых задающее функцию $ f$ выражение $ f(x)$ имеет смысл. При этом могут возникнуть трудности с выяснением того, какова же именно область $ \mathcal{D}(f)$, если в этом возникнет необходимость.     

        Пример 1.14   Пусть функция $ f$ задана формулой

$\displaystyle f(x)=\sqrt{x^6+2x^3-5x^2+3x+7},\quad\mathcal{D}(f)\sbs\mathbb{R}.$

По умолчанию считается, что области $ \mathcal{D}(f)$ принадлежат все те точки $ x\in\mathbb{R}$, что $ {x^6+2x^3-5x^2+3x+7\geqslant 0}$. Разумеется, для каждой заданной точки $ x_0$ проверить это условие несложно, однако описать множество $ \mathcal{D}(f)$ в виде объединения промежутков числовой оси мы не сможем ввиду того, что затрудняемся решить "в явном виде" данное неравенство.     

Если $ \mathcal{D}(f)$ -- это множество натуральных чисел $ \mathbb{N}$, то функция $ f:\mathbb{N}\to B$ называется последовательностью. Так как $ \mathbb{N}$ содержит бесконечное множество чисел $ 1,2,3,\dots$, то задать $ f$ в виде таблицы значений $ y_n=f(n)$, где $ n\in\mathbb{N}$, вообще говоря, нельзя. Однако если функция $ f(n)$ легко угадывается по своим значениям $ y_n$ при небольших $ n$, её часто задают, выписывая таблицу нескольких первых значений.

        Пример 1.15   Пусть $ y_1=f(1)=1,y_2=f(2)=4,y_3=f(3)=9,\dots$. Тогда, скорее всего, имеется в виду, что $ f(n)=n^2$ при любом $ n\in\mathbb{N}$. Эта формула не противоречит выписанным значениям $ f_1,f_2,f_3$ и очень проста. По-видимому, именно её и имели в виду при выписывании первых членов последовательности. Однако можно подобрать и другие формулы, то есть указать другие функции, для которых получаются те же первые значения $ f_1,f_2,f_3$, но, быть может, другие значения $ f_4=f(4),f_5=f(5),\dots$.     

        Упражнение 1.1   Придумайте другую формулу, дающую те же самые значения $ f_1,f_2,f_3$, но при всех прочих $ n$ ( $ n=4,5,6,\dots$) дающую значения, не равные $ n^2$.

Указание: попробуйте, например, отыскать эту формулу в виде $ f(n)=an^3+bn+c$, подобрав коэффициенты $ a,b,c$ так, чтобы формула была верна при $ n=1,2,3$. Получится система трёх линейных уравнений для трёх неизвестных $ a,b,c$, рещив которую, вы найдёте, что $ f(n)=\frac{1}{6}n^3+\frac{11}{6}n-1$.     

В некоторых случаях члены последовательности, то есть значения $ f_n=f(n)$ для $ n\in\mathbb{N}$, удобно не задавать при помощи указания явной зависимости $ f(n)$, а вычислять рекуррентно, то есть вычислять каждый последующий член по значениям нескольких предыдущих:

$\displaystyle f(n)=F(f(n-1),f(n-2),\dots).$

        Пример 1.16   Последовательность чисел Фибоначчи $ f_n$ задаётся так: два первых члена полагают равными единице ( $ f_1=1,f_2=1$), а при $ n\geqslant 3$ вычисляют $ f_n$ по формуле $ f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$. Таким образом, $ f_3=1+1=2,f_4=2+1=3,f_5=3+2=5,f_6=5+3=8$ и т. д.1     

        Упражнение 1.2   Подберите коэффициенты $ a$ и $ b$ в формуле


так, чтобы при $ n=1$ и $ n=2$ число $ f_n$ было числом Фибоначчи. Докажите, что тогда формула (1.3) даёт значение $ f_n$, равное числу Фибоначчи и при всех $ n\geqslant 3$.

Пусть $ {\alpha}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ (это один из корней уравнения $ x^2-x-1=0$, служащего характеристическим уравнением возвратной последовательности $ f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$). Покажите, что

$\displaystyle f_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}({\alpha}^n-(-{\alpha})^{-n})$

при всех $ n\in\mathbb{N}$ (формула Бине); выведите из этой формулы, что $ f_n$ -- это ближайшее к $ \dfrac{1}{\sqrt{5}}{\alpha}^n$ целое число.