‹-- Назад

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

Рассмотрим несколько важнейших элементарных функций и найдём для них многочлены Тейлора при $ x_0=0$.

1. Рассмотрим функцию $ f(x)=e^x$. Все её производные совпадают с ней: $ f^{(k)}(x)=e^x$, так что коэффициенты Тейлора в точке $ x_0=0$ равны

$\displaystyle a_k=\frac{1}{k!}f^{(k)}(0)=\frac{1}{k!}e^0=\frac{1}{k!},\; k=0,1,2,\dots,n.$

Поэтому формула Тейлора для экспоненты такова:

$\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+R_n(x).$

2. Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x$. Её производные чередуются в таком порядке:

$\displaystyle f'(x)=\cos x,\; f''(x)=-\sin x,\; f'''(x)=-\cos x,\; f^{(4)}(x)=\sin x,$

а затем цикл повторяется. Поэтому при подстановке $ x_0=0$ также возникает повторение:

$\displaystyle f(0)=0,\;f'(0)=\cos 0=1,\;f''(0)=-\sin 0=0,\;f'''(0)=-\cos 0=-1,\;
f^{(4)}(0)=\sin 0=0$

и т. д. Все производные с чётными номерами оказываются равными 0; производные с нечётными номерами $ n=2k-1$ равны 1 при $ n=1,5,9,\dots$, то есть при $ k=1,3,5,\dots$, и $ -1$ при $ n=3,7,11,\dots$, то есть при $ k=2,4,6,\dots$. Таким образом, $ f^{(2k-1)}(0)=(-1)^{k-1}$ при всех $ k\in\mathbb{N}$ и коэффициенты Тейлора равны

$\displaystyle a_n=\left\{\begin{array}{ll}
0,&\mbox{ при }n=2k, k=0,1,2,\dots\...
...{(-1)^{k-1}}{(2k-1)!},&\mbox{ при }n=2k-1, k=1,2,3,\dots.
\end{array}\right.
$

Получаем формулу Тейлора для синуса:

$\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots+
(-1)^{k-1}\dfrac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+R_{2k}(x).$

Заметим, что мы можем записать остаточный член $ R_{2k}(x)$ вместо $ R_{2k-1}(x)$ (как можно было бы подумать), поскольку можно считать, что слагаемое порядка $ 2k$, с коэффициентом, равным 0, тоже включено в многочлен Тейлора.

3. Для функции $ f(x)=\cos x$ производные также чередуются с циклом длины 4, как и для синуса. Значения в точке $ x_0=0$ имеют то же чередование:

$\displaystyle f(0)=\cos0=1,\;f'(0)=-\sin0=0,\;f''(0)=-\cos0=-1,\;f'''(0)=\sin0=0,$    
$\displaystyle f^{(4)}(0)=\cos0=1,\dots$    

Нетрудно видеть, что $ f^{(n)}(0)=0$ при $ n=2k-1$, $ k=1,2,3,\dots,$ и $ f^{(n)}(0)=(-1)^k$ при $ n=2k$, $ k=0,1,2,\dots$. Поэтому разложение косинуса по формуле Тейлора имеет вид

$\displaystyle \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots+
(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+R_{2k+1}(x).$

Здесь мы также считаем, что последним в многочлене Тейлора выписано слагаемое, содержащее $ x^{2k+1}$ с нулевым коэффициентом.

        Упражнение 6.1   Найдите формулу для производной произвольного порядка от функции $ f(x)=\ln(1+x)$. Вычислите значения этих производных при $ x_0=0$ и коэффициенты Тейлора. Покажите, что имеет место разложение

$\displaystyle \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\ldots+
(1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+R_n(x).$

    

        Упражнение 6.2   Найдите формулу для производной произвольного порядка от функции $ f(x)=(1+x)^{{\alpha}}$ при фиксированном $ {\alpha}\in\mathbb{R}$. Вычислите значения этих производных при $ x_0=0$ и коэффициенты Тейлора. Покажите, что имеет место разложение

$\displaystyle (1+x)^{{\alpha}}=1+{\alpha}x+\frac{{\alpha}({\alpha}-1)}{1\cdot2}...
...alpha}({\alpha}-1)\ldots({\alpha}-n+1)}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot n}x^n+
R_n(x).$

    

        Упражнение 6.3   Покажите, что разложения по формуле Тейлора для функций $ \mathop{\rm sh}\nolimits x$ и $ \mathop{\rm ch}\nolimits x$ выглядят так:

$\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots+
\dfrac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+R_{2k}(x)$

и

$\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\ldots+
\frac{x^{2k}}{(2k)!}+R_{2k+1}(x).$

Сравните найденные разложения с разложениями для $ \sin x$, $ \cos x$ и $ e^x$.     

На основе полученных разложений можно получать и разложения многих других функций.

        Пример 6.1   Рассмотрим функцию $ f(x)=xe^{x^2}$. Найдём её разложение по формуле Тейлора в точке $ x_0=0$. Начнём с того, что напишем ранее найденное разложение для экспоненты,

$\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\ldots+\frac{z^n}{n!}+R_n(z),$

и положим в нём $ z=x^2$:

$\displaystyle e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\ldots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n(x^2).
$

Теперь умножим левую и правую части этой формулы на $ x$:

$\displaystyle xe^{x^2}=x+x^3+\frac{x^5}{2!}+\frac{x^7}{3!}+\ldots+\frac{x^{2n+1}}{n!}
+xR_n(x^2).$

Заметим, что бесконечно малое при $ x\to0$ выражение $ \tilde R(x)=xR_n(x^2)$ имеет тот же или больший порядок малости, как $ x^{2(n+1)+1}=x^{2n+3}$, и поэтому может рассматриваться как остаточный член $ R_{2n+2}(x)$ в формуле Тейлора для $ f(x)$, а предыдущие слагаемые в правой части формулы -- как многочлен Тейлора данной функции. Так что её искомое разложение найдено.     

Разберём теперь пример того, как полученные разложения элементарных функций можно использовать для раскрытия некоторых неопределённостей.

        Пример 6.2   Найдём предел

$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}}.$

Для начала найдём разложение по формуле Тейлора в точке 0 для числителя:

$\displaystyle e^x-1-x=-1-x+1+x+\frac{x^2}{2}+r_3(x)=
\frac{x^2}{2}+r_3(x),$

где через $ r_3(x)$ обозначен остаточный член, имеющий тот же порядок малости, что и $ x^3$. Разложение для знаменателя имеет вид:

$\displaystyle \sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}=(1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+s_3(x))-
(1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{24}+t_3(x)),$

где остаточные члены $ s_3(x)$ и $ t_3(x)$ тоже имеют тот же порядок малости, что и $ x^3$, при $ x\to0$. Выполняя приведение подобных членов, получаем, что знаменатель равен

$\displaystyle -(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})x^2+s_3(x)-t_3(x).$

Итак,

$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}}=
 \lim_{x\to0}\dfrac{\frac{x^2}{2}+r_3(x)}
 {-(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})x^2+s_3(x)-t_3(x)}=$    
$\displaystyle =\lim_{x\to0}\dfrac{\frac{1}{2}+\frac{r_3(x)}{x^2}}
 {-(\frac{1}{...
...rac{s_3(x)-t_3(x)}{x^2}}=
 \dfrac{\frac{1}{2}}{-(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})}=-3.$    

    

Заметим, что этот способ раскрытия неопределённостей типа $ \left[\dfrac{0}{0}\right]$ в некоторых случаях, подобных разобранному в примере, менее трудоёмок, чем применение правила Лопиталя.