‹-- Назад

Многочлен Тейлора

Многочлен $ P(x)$, наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом Тейлора для данной функции; найдя его по заданной функции $ f(x)$, мы сможем вместо сложного вычисления значений функции $ f(x)$ приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена16 $ P(x)$.

Уточним теперь постановку задачи. Пусть функция $ f(x)$ определена в некоторой окрестности $ E=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})$ некоторой точки $ x_0\in\mathbb{R}$ и имеет всюду в окрестности $ E$ производные $ f^{(k)}(x)$ при $ k=1,2,\dots,n$. Многочленом Тейлора степени $ n$ в точке $ x_0$ называется такой многочлен $ P(x)$ степени $ n$, такой, что его значение и значение всех его производных, вычисленные в точке $ x_0$, равны соответствующим значениям функции $ f(x)$ и её производных $ f^{(k)}(x)$ до порядка $ n$ в этой же точке:

$\displaystyle P^{(k)}(x_0)=f^{(k)}(x_0); k=0,1,2,\dots,n.$

Если это условие совпадения выполнено, то графики функций $ y=f(x)$ и $ y=P(x)$, по крайней мере при $ x$, близких к $ x_0$, будут идти весьма тесно друг к другу. Равенство

$\displaystyle P(x_0)=f(x_0)$

означает, что графики проходят через одну и ту же точку $ (x_0;f(x_0))$; равенство

$\displaystyle P'(x_0)=f'(x_0)$

означает, что эти графики имеют в этой общей точке совпадающие касательные (так как общее значение производной -- это общий угловой коэффициент касательной); равенство

$\displaystyle P''(x_0)=f''(x_0)$

означает, как мы убедимся ниже, что эти графики имеют в общей точке одинаковую кривизну, и т. д.

Для нахождения вида многочлена Тейлора для заданной функции сделаем сначала следующее замечание. Любой многочлен $ P(x)$ степени $ n$ вида

$\displaystyle P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$

можно представить в виде, расположенном по степеням бинома $ (x-x_0)$:

$\displaystyle P(x)=a_0(x-x_0)^n+a'_1(x-x_0)^{n-1}+a'_2(x-x_0)^{n-2}+\ldots+a'_{n-1}(x-x_0)
+a'_n,
$

и наоборот, раскрыв скобки в последней формуле, мы можем получить многочлен по степеням $ x$.

Действительно, положив $ t=x-x_0$, мы можем подставить $ x=t+x_0$ в правую часть формулы $ P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$, раскрыть степени $ (t+x_0)^k$ при $ k=2,3,\dots,n$ по формуле бинома Ньютона, а потом привести подобные члены. Все коэффициенты $ a_i$ (кроме $ a_0$) и свободный член при этом изменятся на некоторые другие ($ a'_i$ в нашей формуле), но получится многочлен по степеням бинома $ x-x_0$, имеющий ту же степень $ n$.

Итак, будем предполагать, что многочлен Тейлора мы ищем в виде

\begin{multline}
P(x)=
a_n(x-x_0)^n+a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}+a_{n-2}(x-x_0)^{n-2}+\ldots+\\
+a_2(x-x_0)^2+a_1(x-x_0)+a_0
\end{multline}

при некоторых коэффициентах $ a_k$, пока не известных. Отыщем значения этих коэффициентов Тейлора $ a_k$ по значениям производных данной функции в точке $ x_0$.

Учтём требование к значению многочлена: $ P(x_0)=f(x_0)$. Подставив в равенство (Тейлор 1) $ x=x_0$, получим, что $ P(x_0)=a_0$, так как все остальные слагаемые обратятся в 0. Тем самым

$\displaystyle a_0=f(x_0).$

Учтём затем требование к значению первой производной многочлена: $ P'(x_0)=f'(x_0)$. Производная от $ P(x)$ равна

\begin{multline}
P'(x)=
na_n(x-x_0)^{n-1}+(n-1)a_{n-1}(x-x_0)^{n-2}+(n-2)a_{n-2}(x-x_0)^{n-3}+\\
+\ldots+2a_2(x-x_0)+a_1.
\end{multline}

Подставив в равенство (Тейлор 2) значение $ x=x_0$, получим, что $ P'(x_0)=a_1$, так как снова все остальные слагаемые обратятся в 0. Отсюда

$\displaystyle a_1=f'(x_0).$

Следующее требование -- к значению второй производной многочлена: $ {P''(x_0)=f''(x_0)}$. Вторая производная от $ P(x)$ равна

\begin{multline}
P''(x)=
n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}+(n-1)(n-2)a_{n-1}(x-x_0)^{n-3}+\\
+(n-2)(n-3)a_{n-2}(x-x_0)^{n-4}+\ldots+2a_2.
\end{multline}

Снова подставив в равенство (Тейлор 3) значение $ x_0$, получим, что $ P''(x_0)=2a_2$, откуда

$\displaystyle a_2=\frac{1}{2}f''(x_0).$

Далее нетрудно сообразить, что получится $ P'''(x_0)=3\cdot2a_3=f'''(x_0)$, откуда

$\displaystyle a_3=\frac{1}{2\cdot3}f'''(x_0),$

и вообще,

$\displaystyle 84 a_k=\frac{1}{2\cdot3\cdot\ldots\cdot k}f^{(k)}(x_0),$    

при $ k=3,4,\dots,n$. Учитывая, что $ 0!=1$, $ 1!=1$, $ 2!=2$, $ 3!=2\cdot3$, ..., последнюю формулу можно записать в виде

$\displaystyle 85 a_k=\frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0),\; k=0,1,2,\dots,n.$    

Итак, мы получили, что многочлен Тейлора для функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ имеет вид

$\displaystyle P(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots+
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.$