‹-- Назад

Первый способ задания функции: табличный

Если множество $ A=\mathcal{D}(f)$ конечно и состоит из $ N$ элементов $ x_1,x_2,\dots,x_N$, то функцию можно задать перечислением, указав, какие значения она принимает на каждом элементе $ x\in A$. Часто это делают в виде таблицы:

$ x$ $ x_1$ $ x_2$ $ \dots$ $ x_N$
$ y$ $ y_1$ $ y_2$ $ \dots$ $ y_N$

В верхней строке таблицы перечисляются все $ N$ элементов конечного множества $ A$, а в нижней -- соответствующие им значения функции. Разумеется, таблицу можно расположить и в два столбца вместо двух строк.

        Пример 1.10   В отделе кадров составляют таблицу, в которой в первом столбце содержатся фамилии и инициалы работников, а во втором -- серии и номера их паспортов. Такая таблица задаёт функцию $ f$ -- соответствие между множеством $ A$ работников предприятия и множеством $ B$ кодов (код -- это серия и номер) паспортов. Полученная таблица может выглядеть, например, так:

Фамилия И.О. Паспорт: серия, номер
Абрамов В.П. II-СИ 356531
Бархударов Ш.Х. VII-ПЮ 785305
Виноградов А.В. XII-ЧФ 015628
Гусева Т.И. IV-БШ 764285
... ...  

Определённая таким способом функция $ f$ -- это инъекция, так как ни у каких двух человек не могут оказаться паспорта с одинаковым кодом (серия, номер).    

Другая форма таблицы удобна для функции $ f:A\to B$, заданной на прямом произведении двух множеств $ A_1$ и $ A_2$, то есть когда $ A=\mathcal{D}(f)=A_1\times A_2$, причём множества $ A_1$ и $ A_2$ конечные: $ A_1=\{x_1^{(1)},x_1^{(2)},\dots,x_1^{(m)}\}$ и $ A_2=\{x_2^{(1)},x_2^{(2)},\dots,x_2^{(n)}\}$. Перечислим все элементы множества $ A_1$ по вертикали, а $ A_2$ -- по горизонтали. В пересечениях строки и столбца, содержащих элементы $ x_1^{(i)}\in A_1$ и $ x_2^{(j)}\in A_2$, укажем значение функции $ y_{ij}=f(x_{ij})$, где $ x_{ij}=(x_1^{(i)};x_2^{(j)})\in A_1\times A_2$:

$ A_1\diagdown A_2$ $ x_2^{(1)}$ $ x_2^{(2)}$ $ \dots$ $ x_2^{(n)}$
$ x_1^{(1)}$ $ y_{11}$ $ y_{12}$ $ \dots$ $ y_{1n}$
$ x_1^{(2)}$ $ y_{21}$ $ y_{22}$ $ \dots$ $ y_{2n}$
$ \dots$ $ \dots$ $ \dots$ $ \dots$ $ \dots$
$ x_1^{(m)}$ $ y_{m1}$ $ y_{m2}$ $ \dots$ $ y_{mn}$

Как мы видим, задание такой функции эквивалентно заданию прямоугольной таблицы -- матрицы размера $ m\times n$, элементами которой являются элементы множества $ B$.

        Пример 1.11   В теории игр (одной из областей математики) рассматривается, в частности, такая задача. При взаимодействии двух партнёров $ P_1$ и $ P_2$ каждый из них может получить выигрыш, зависящий от вариантов действий каждого партнёра. Пусть множества вариантов действий (эти варианты называются стратегиями) партнёров конечны: $ P_1$ может выбирать одну из стратегий из множества $ {\mathrm A}=\{{\alpha}_1,\dots,{\alpha}_m\}$, а $ P_2$ -- из множества $ {\mathrm B}=\{{\beta}_1,\dots,{\beta}_n\}$. Если $ P_1$ выбрал стратегию $ {\alpha}_i\; (i=1,...,m)$, а $ P_2$ -- стратегию $ {\beta}_j\; (j=1,...,n)$, то однозначно определены выигрыши: у первого партнёра он равен числу $ u_{ij}=f_1({\alpha}_i,{\beta}_j)$, а у второго -- числу $ v_{ij}=f_2({\alpha}_i,{\beta}_j)$. Рассмотрим функцию $ f: {\mathrm A}\times{\mathrm B}\to\mathbb{R}^2$, такую что

$\displaystyle f:({\alpha}_i,{\beta}_j)\mapsto(f_1({\alpha}_i,{\beta}_j),f_2({\alpha}_i,{\beta}_j))=(u_{ij},v_{ij}).$

Эта функция называется функцией выигрышей или платёжным отображением игры. Её можно полностью задать, сведя все данные в таблицу вида

$ {\mathrm A}\diagdown {\mathrm B}$ $ {\beta}_1$ $ {\beta}_2$ $ \dots$ $ {\beta}_n$
$ {\alpha}_1$ $ (u_{11},v_{11})$ $ (u_{12},v_{12})$ $ \dots$ $ (u_{1n},v_{1n})$
$ {\alpha}_2$ $ (u_{21},v_{21})$ $ (u_{22},v_{22})$ $ \dots$ $ (u_{2n},v_{2n})$
$ \dots$ $ \dots$ $ \dots$ $ \dots$ $ \dots$
$ {\alpha}_m$ $ (u_{m1},v_{m1})$ $ (u_{m2},v_{m2})$ $ \dots$ $ (u_{mn},v_{mn})$

то есть задав одну матрицу, элементы которой -- пары чисел $ (u_{ij},v_{ij})$, или же задав две числовые матрицы $ f_1$ и $ f_2$ размера $ m\times n$:

$\displaystyle f_1=\begin{pmatrix}
u_{11}&u_{12}&\dots&u_{1n}\\
u_{21}&u_{22}...
...\\
\dots &\dots &\dots&\dots\\
v_{m1}&v_{m2}&\dots&v_{mn}
\end{pmatrix}.
$