‹-- Назад

Производные функции, заданной параметрически

Пусть задана зависимость двух переменных $ x$ и $ y$ от параметра $ t$, изменяющегося в пределах от $ {\alpha}$ до $ {\beta}$:

$\displaystyle x={\varphi}(t); y=\psi(t); t\in({\alpha};{\beta}).$

Пусть функция $ x={\varphi}(t)$ имеет обратную: $ t={\varphi}^{-1}(x)=\Phi(x)$. Тогда мы можем, взяв композицию функций $ y=\psi(t)$ и $ t=\Phi(x)$, получить зависимость $ y$ от $ x$: $ y=\psi(\Phi(x))$. Зависимость величины $ y$ от величины $ x$, заданная через зависимость каждой из них от параметра $ t$ в виде $ x={\varphi}(t), y=\psi(t)$, называется функцией $ y=y(x)$, заданной параметрически.

Производную функции $ y(x)$, заданной параметрически, можно выразить через производные функций $ {\varphi}(t)$ и $ \psi(t)$: поскольку $ y=\psi(\Phi(x))$ и, по формуле производной обратной функции, $ \Phi'(x)=\dfrac{1}{{\varphi}'(\Phi(x))}$, то

$\displaystyle y'_x=\psi'(\Phi(x))\Phi'(x)=
\dfrac{\psi'(\Phi(x))}{{\varphi}'(\Phi(x))}=
\dfrac{y'_t(t)}{x'_t(t)},$

где $ t=\Phi(x)$ -- значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение $ x$.

Заметим, что применение формулы приводит нас к зависимости между $ z=y'_x$ и $ x$, снова выраженной в виде параметрической зависимости: $ y'_x=z(t)$, $ x=x(t)$; второе из этих соотношений -- то же, что участвовало в параметрическом задании функции $ y(x)$. Несмотря на то, что производная не выражена через $ x$ в явном виде, это не мешает решать нам задачи, связанные с нахождением производной, найдя соответствующее значение параметра $ t$. Покажем это на следующем примере.

        Пример 4.22   Пусть зависимость между $ x$ и $ y$ задана параметрически следующими формулами:

$\displaystyle x=\ln(1+t^2); y=\mathop{\rm arctg}\nolimits t.$

Найдём уравнение касательной к графику зависимости $ y(x)$ в точке $ (\ln2;\frac{\pi}{4})$.

Значения $ x=\ln(1+t^2)=\ln2$ и $ y=\mathop{\rm arctg}\nolimits t=\frac{\pi}{4}$ получаются, если взять $ t=1$. Найдём производные $ x$ и $ y$ по параметру $ t$:

$\displaystyle x'_t=(\ln(1+t^2))'_t=\dfrac{2t}{1+t^2};
y'_t=(\mathop{\rm arctg}\nolimits t)'_t=\dfrac{1}{1+t^2}.$

Поэтому

$\displaystyle y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}=\dfrac{
\dfrac{1}{1+t^2}}{\dfrac{2t}{1+t^2}}=
\dfrac{1}{2t}.$

При $ t=1$ получаем значение производной

$\displaystyle y'_x\vert _{t=1}=\frac{1}{2};$

это значение задаёт угловой коэффициент $ k$ искомой касательной. Координаты $ x_0=\ln2$ и $ y_0=\frac{\pi}{4}$ точки касания заданы в условии задачи. Значит, уравнение касательной таково:

$\displaystyle y=y_0+k(x-x_0)=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}(x-\ln2).$

    

Заметим, что исходя из полученной параметрической зависимости $ y'_x=z(t)$, $ x=x(t)$, мы можем отыскать вторую производную функции $ y$ по переменной $ x$:

$\displaystyle y''_{xx}=(y'_x)'_x=\dfrac{z'_t}{x'_t}.$

        Пример 4.23   Пусть дана та же зависимость между $ y$ и $ x$, что в предыдущем примере:

$\displaystyle x=\ln(1+t^2); y=\mathop{\rm arctg}\nolimits t.$

Найдём выражение для второй производной $ y''_{xx}$ через параметр $ t$. Ранее мы получили, что $ y'_x=z(t)=\dfrac{1}{2t}$. Поэтому $ z'_t=-\dfrac{1}{2t^2}$; производную $ x'_t=\dfrac{2t}{1+t^2}$ мы нашли выше. Получаем:

$\displaystyle y''_{xx}=z'_x=\dfrac{z'_t}{x'_t}
=\dfrac{-\dfrac{1}{2t^2}}{\dfrac{2t}{1+t^2}}
=-\dfrac{1+t^2}{4t^3}.$

    

Можно получить и явный вид производной второго порядка от параметрически заданной функции, если подставить $ z=\dfrac{y'_t}{x'_t}$ в формулу $ y''_{xx}=z'_x=\dfrac{z'_t}{x'_t}$; при этом получим: