‹-- Назад

Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность

Напомним, что дифференциал функции $ f(x)$ (называемый также первым дифференциалом, или дифференциалом первого порядка) задаётся формулой

$\displaystyle df(x;dx)=f'(x)dx.$

Рассмотрим это выражение (при фиксированном приращении $ dx$ аргумента $ x$) как функцию переменного $ x$ и найдём её дифференциал $ d(df(x;dx))=d^2f(x;dx)$:

$\displaystyle d^2f(x;dx)=(f'(x)dx)'dx=f''(x)(dx)^2.$

Этот дифференциал от первого дифференциала называется вторым дифференциалом от функции $ f(x)$, или дифференциалом второго порядка. Аналогично, дифференциал от второго дифференциала называется третьим дифференциалом; он задаётся формулой

$\displaystyle d^3f(x;dx)=(f''(x)(dx)^2)'dx=f'''(x)(dx)^3.$

Вообще, $ n$-й дифференциал $ d^nf(x;dx)$, или дифференциал $ n$-го порядка, определяется как дифференциал от $ (n-1)$-го дифференциала (при постоянном приращении $ dx$); для него имеет место формула:

$\displaystyle d^nf(x;dx)=f^{(n)}(x)(dx)^n.$

При $ n\geqslant 2$ $ n$-й дифференциал не инвариантен (в отличие от первого дифференциала), то есть выражение $ d^nf$ зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная $ x$ как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, $ x={\varphi}(t)$.

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высших порядков достаточно привести пример. Пусть $ n=2$ и $ f(x)=x^3$. Если $ x$ -- независимая переменная, то


Если же $ x={\varphi}(t)=t^2$, то $ dx=d{\varphi}(t;dt)={\varphi}'(t)dt=2tdt$, и тогда правая часть формулы (4.16) даёт:

$\displaystyle 6x(dx)^2=6t^2(2tdt)^2=24t^4(dt)^2.$

Однако при этом $ y=x^3=(t^2)^3=t^6$ и

$\displaystyle d^2y=(t^6)''(dt)^2=30t^4(dt)^2.$

Как видно, получилось не то же самое, что по формуле (4.16) с учётом зависимости $ {x=t^2}$. Следовательно, уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Тем более, не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.