‹-- Назад

Сводка основных результатов о производных

Для удобства приведём полученные выше результаты в виде таблицы. Всюду в этой таблице $ u$ и $ v$ -- функции переменного $ x$, $ c$ -- постоянная. Производные элементарных функций приведены в предположении, что $ u=u(x)$ -- промежуточный аргумент сложной функции.

Правила дифференцирования
1 $ (u+v)'=u'+v'$ Эти два свойства выражают
2 $ (cu)'=cu'$ линейность операции дифференцирования
3 $ (u-v)'=u'-v'$  
4 $ (uv)'=u'v+v'u$  
5 $ \bigl(\dfrac{u}{v}\bigr)'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$  
6 $ (f(u(x))'_x=f'_u(u(x))\cdot u'(x)$  
7 $ df(x;dx)=f'_x(x)dx$ (и в том случае, когда $ x=x(t)$)
8 Если функция $ {\varphi}(y)$ -- обратная к $ f(x)$, то $ {\varphi}'_y(y)=\dfrac{1}{f'({\varphi}(y))}$
9 Если $ x={\varphi}(t),\;y=\psi(t)$, то $ y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}=\dfrac{\psi'(t)}{{\varphi}'(t)}$ (см. ниже)
     
Производные элементарных функций
1 $ c'=0$  
2 $ (u^n)'_x=nu^{n-1}\cdot u'_x,\; n\in\mathbb{R}$  
3 $ (a^u)'_x=a^u\ln a\cdot u'_x,\; a>0,a\ne1$, в частности, $ (e^u)'_x=e^uu'_x$
4 $ (\log_au)'_x=\dfrac{u'_x}{u\ln a},\; a>0,a\ne1$, в частности, $ (\ln u)'_x=\dfrac{u'_x}{u}$
5 $ (\sin u)'_x=\cos u\cdot u_x$  
6 $ (\cos u)'_x=-\sin u\cdot u_x$  
7 $ (\mathop{\rm tg}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{\cos^2x}=(1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2u)u'_x$  
8 $ (\mathop{\rm ctg}\nolimits u)'_x=-\dfrac{u'_x}{\sin^2x}=-(1+\mathop{\rm ctg}\nolimits ^2u)u'_x$  
9 $ (\arcsin u)'_x=\dfrac{u'_x}{\sqrt{1-u^2}}$  
10 $ (\arccos u)'_x=-\dfrac{u'_x}{\sqrt{1-u^2}}$  
11 $ (\mathop{\rm arctg}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{1+u^2}$  
12 $ (\mathop{\rm arcctg}\nolimits u)'_x=-\dfrac{u'_x}{1+u^2}$  
13 $ (\mathop{\rm sh}\nolimits u)'_x=\mathop{\rm ch}\nolimits u\cdot u'_x$  
14 $ (\mathop{\rm ch}\nolimits u)'_x=\mathop{\rm sh}\nolimits u\cdot u'_x$  
15 $ (\mathop{\rm th}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{\mathop{\rm ch}\nolimits ^2u}=(1-\mathop{\rm th}\nolimits ^2u)u'_x$  
16 $ (\mathop{\rm cth}\nolimits u)'_x=-\dfrac{u'_x}{\mathop{\rm sh}\nolimits ^2u}=(1-\mathop{\rm cth}\nolimits ^2u)u'_x$  
17 $ (\mathop{\rm arsh}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{\sqrt{u^2+1}}$  
18 $ (\mathop{\rm arch}\nolimits u)'_x=\pm\dfrac{u'_x}{\sqrt{u^2-1}}$  
19 $ (\mathop{\rm arth}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{1-u^2}$  
20 $ (\mathop{\rm arcth}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{1-u^2}$