‹-- Назад

Производные некоторых элементарных функций (продолжение)

Применим полученную формулу производной обратной функции (точнее, формулу (4.15)) для нахождения производных некоторых элементарных функций.

        Пример 4.8   Найдём производную функции $ {f(x){=}\arcsin x}$. Обратной к этой функции служит главная ветвь функции $ {{\varphi}(y)=\sin y}$ ( $ {-\frac{\pi}{2}\leqslant y\leqslant \frac{\pi}{2}}$), производная которой равна $ {{\varphi}'(y)=\cos y}$. Заметим, что при указанных значениях $ y$ выполнено неравенство $ {\cos y\geqslant 0}$, откуда $ {\cos y=\sqrt{1-\sin^2y}}$ (корень берём со знаком $ +$). Поэтому по формуле (4.15):     $ f'(x)=\dfrac{1}{\cos(\arcsin x)}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin x)}}=
\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$     

        Пример 4.9   Аналогично отыщем производную функции $ f(x)=\arccos x$. Обратной к $ f(x)$ служит главная ветвь функции $ {\varphi}(y)=\cos y$ ( $ 0\leqslant y\leqslant \pi$), производная которой равна $ {\varphi}'(y)=-\sin y$. Заметим, что при $ 0\leqslant y\leqslant \pi$ выполнено неравенство $ \sin y\geqslant 0$, откуда $ \sin y=\sqrt{1-\cos^2y}$ (корень со знаком $ +$). Поэтому по формуле (4.15)

$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{-\sin(\arccos x)}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-\cos^2(\arccos x)}}=
-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$

Заметим однако, что тот же результат можно было бы гораздо легче получить, используя тригонометрическую формулу $ \arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}$, откуда $ \arccos x=\dfrac{\pi}{2}-\arcsin x$ и $ (\arccos x)'=-(\arcsin x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$     

        Пример 4.10   Найдём производную функции $ f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$. Обратной к этой функции служит главная ветвь функции $ {\varphi}(y)=\mathop{\rm tg}\nolimits y$ ( $ -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$), производная которой равна $ {\varphi}'(y)=\dfrac{1}{\cos^2y}=1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2y$. Поэтому по формуле (4.15)

$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2(\mathop{\rm arctg}\nolimits x)}=\dfrac{1}{1+x^2}.$

    

        Пример 4.11   Найдём производную функции $ f(x)=\mathop{\rm arcctg}\nolimits x$. Обратной к этой функции служит главная ветвь функции $ {\varphi}(y)=\mathop{\rm ctg}\nolimits y$ ($ 0<y<\pi$), производная которой равна $ {\varphi}'(y)=-\dfrac{1}{\sin^2y}=-1-\mathop{\rm ctg}\nolimits ^2y$. Поэтому по формуле (4.15)

$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{-1-\mathop{\rm ctg}\nolimits ^2(\mathop{\rm arcctg}\nolimits x)}=-\dfrac{1}{1+x^2}.$

Конечно, ту же формулу можно было получить из соотношения $ {\mathop{\rm arctg}\nolimits x+\mathop{\rm arcctg}\nolimits x=\dfrac{\pi}{2}}$, откуда $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits x=\dfrac{\pi}{2}-\mathop{\rm arctg}\nolimits x$ и $ (\mathop{\rm arcctg}\nolimits x)'=-(\mathop{\rm arctg}\nolimits x)'=-\dfrac{1}{1+x^2}.$     

        Пример 4.12   Найдём производную функции $ f(x)=a^x$ ($ a>0,\ a\ne1$). Обратной к ней служит функция $ {\varphi}(y)=\log_ay$, производная которой такова: $ {\varphi}'(y)=\dfrac{1}{y\ln a}$. Поэтому формула (4.15) даёт

$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{\dfrac{1}{a^x\ln a}}=a^x\ln a.$

В частности, при $ a=e$ получаем

$\displaystyle (e^x)'=e^x.$

    

Выведем теперь формулы для производных гиперболических функций.

        Пример 4.13   Пусть $ y=\mathop{\rm sh}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$. Заметим, что

$\displaystyle (e^{-x})'=e^{-x}(-x)'=e^{-x}(-1)=-e^{-x}$

по формуле производной композиции (с промежуточным аргументом $ u=-x$). Тогда

$\displaystyle y'=(\mathop{\rm sh}\nolimits x)'=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})'=
\frac{1}{2}(e^x-(-e^{-x}))=
\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}))=\mathop{\rm ch}\nolimits x.$

    

        Пример 4.14   Аналогично находится производная гиперболического косинуса $ {y=\mathop{\rm ch}\nolimits x=
\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})}$:

$\displaystyle y'=(\mathop{\rm ch}\nolimits x)'=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})'=
\frac{1}{2}(e^x+(-e^{-x}))=
\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}))=\mathop{\rm sh}\nolimits x.$

    

        Пример 4.15   Найдём производную гиперболического тангенса $ \mathop{\rm th}\nolimits x=\dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits x}{\mathop{\rm ch}\nolimits x}$. Заметим для начала, что $ \mathop{\rm ch}\nolimits ^2x-\mathop{\rm sh}\nolimits ^2x=1$ (проверьте!). Далее, имеем:

$\displaystyle (\mathop{\rm th}\nolimits x)'=\dfrac{(\mathop{\rm sh}\nolimits x)...
...ts ^2x}=\dfrac{1}{\mathop{\rm ch}\nolimits ^2x}=1-\mathop{\rm th}\nolimits ^2x.$

    

        Пример 4.16   Найдём производную гиперболического котангенса $ \mathop{\rm cth}\nolimits x=\dfrac{\mathop{\rm ch}\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}$. Имеем:

$\displaystyle (\mathop{\rm cth}\nolimits x)'=\dfrac{(\mathop{\rm ch}\nolimits x...
... ^2x}=-\dfrac{1}{\mathop{\rm sh}\nolimits ^2x}=1-\mathop{\rm cth}\nolimits ^2x.$

    

        Упражнение 4.2   Выведите эти же 4 формулы для производных функций $ \mathop{\rm sh}\nolimits x,\mathop{\rm ch}\nolimits x,\mathop{\rm th}\nolimits x,\mathop{\rm cth}\nolimits x$, исходя из того, что это -- обратные функции к соответствующим ареа-функциям, производные которых мы уже нашли выше. При этом используйте формулу (4.15).

Обратно, исходя из доказанных формул для производных гиперболических функций, выведите при помощи формулы (4.15) формулы для производных ареа-функций.     

        Пример 4.17   Найдём теперь формулу для производной функции $ y=x^{{\alpha}}$ при произвольном вещественном $ {\alpha}$. Некоторые частные случаи (при $ {\alpha}=n\in\mathbb{Z}$, $ {\alpha}=\frac{1}{2}$) были нами разобраны выше.

Итак, пусть $ f(x)=x^{{\alpha}}$, $ {\alpha}\in\mathbb{R}$, $ x\in(0;+\infty)$. Запишем функцию в виде $ f(x)=e^{{\alpha}\ln x}$ и найдём её производную как производную композиции с промежуточным аргументом $ u={\alpha}\ln x$. Получаем тогда

$\displaystyle (x^{{\alpha}})'=(e^{{\alpha}\ln x})'=
e^{{\alpha}\ln x}({\alpha}...
...\ln x}\dfrac{1}{x}={\alpha}x^{\\ al}\cdot\dfrac{1}{x}=
{\alpha}x^{{\alpha}-1}.$

    

Применим теперь полученные формулы для вычисления некоторых производных.

        Пример 4.18   Найдём производную функции

$\displaystyle f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x},$ при $\displaystyle x\ne0.$

При $ x=0$ функция имеет неустранимый разрыв первого рода, поскольку

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0+}f(x)=
\lim\limits_{x\to0+}\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x}=\dfrac{\pi}{2},$

а

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0-}f(x)=
\lim\limits_{x\to0-}\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x}=-\dfrac{\pi}{2}.$

Рис.4.9.График функции $ f(x)$


Теперь вычислим производную при $ x\ne0$: применяя формулу производной сложной функции, получаем

$\displaystyle f'(x)=(\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x})'=\dfrac{1}{1+\df...
...frac{1}{1+\dfrac{1}{x^2}}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=
-\dfrac{1}{1+x^2}.$

Рис.4.10.График производной $ f'(x)$


Заметим, что если бы не разрыв при $ x=0$, эта производная совпала бы с производной функции $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits $. Это неспроста: дело в том, что если мы положим

$\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac...
...mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x>0,
\end{array}\right.
$

то $ g(x)$ будет совпадать с $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits x$ при всех $ x\ne0$. В то же время $ g(x)$ отличается на постоянное слагаемое от $ f(x)$ при $ x<0$, и поэтому производные у $ f(x)$ и у $ g(x)$ одинаковые.     

        Упражнение 4.3   Найдите производную функции

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\
0,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.
$

Отдельно вычислите производную при $ {x\ne0}$ (как производную произведения) и производные слева и справа при $ {x=0}$ (пользуясь определением производной, как

$\displaystyle \lim\limits_{h\to0\pm}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=
\lim\limits_{h\to0\pm}\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{h}.)$