‹-- Назад

Производная обратной функции

Пусть $ f(x)$ -- непрерывная функция, монотонная на интервале $ (a;b)$. Тогда, как мы доказали в гл. 3, функция $ y=f(x)$ имеет обратную функцию $ x={\varphi}(y)$, которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале $ (c;d)$, в который функция $ f$ переводит интервал $ (a;b)$. Пусть $ x_0\in(a;b)$ -- фиксированная точка и $ y_0=f(x_0)\in(c;d)$ -- точка, ей соответствующая. Тогда $ x_0={\varphi}(y_0)$.

        Теорема 4.5   Пусть функция $ f(x)$ имеет в точке $ x_0$ производную $ f'(x_0)\ne0$. Тогда обратная функция $ {\varphi}(y)$ имеет в соответствующей точке $ y_0$ производную $ {\varphi}'(y_0)$, которую можно отыскать по формуле


        Доказательство.     Дадим аргументу $ x_0$ приращение $ {\Delta}x\ne0$, такое что $ {x_0+{\Delta}x\in(a;b)}$, и рассмотрим соответствующее приращение $ {\Delta}y$, определяемое равенством $ y_0+{\Delta}y=f(x_0+{\Delta}x)$. Тогда, очевидно, $ {y_0+{\Delta}y\in(c;d)}$; при этом $ {\varphi}(y_0+{\Delta}y)=x_0+{\Delta}x$, а из монотонности функции $ f$ следует, что $ {\Delta}y\ne0$. Поскольку как функция $ f$, так и функция $ {\varphi}$ непрерывны, то условия $ {\Delta}x\to0$ и $ {\Delta}y\to0$ эквивалентны. Составим теперь разностное отношение для функции $ x={\varphi}(y)$ и запишем для него очевидное равенство:

$\displaystyle \dfrac{{\Delta}x}{{\Delta}y}=\dfrac{1}{\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}}.$

Теперь перейдём в этом равенстве к пределу при $ {\Delta}y\to0$ и учтём, что при этом $ {\Delta}x$ тоже стремится к 0:

$\displaystyle {\varphi}'(y_0)=\lim_{{\Delta}y\to0}\dfrac{{\Delta}x}{{\Delta}y}=...
...1}{\lim\limits_{{\Delta}x\to0}\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}}=\dfrac{1}{f'(x_0)},$

что мы и хотели доказать.     

Заметим, что, очевидно, из формулы (4.14) следует, что


если $ {\varphi}(y)$ -- функция, обратная к $ f(x)$.

        Замечание 4.10   Нетрудно заметить из приведённого доказательства, что если существует производная $ f'(x_0)=0$, то разностное отношение $ \dfrac{{\Delta}x}{{\Delta}y}$ стремится к $ \infty$ при $ {\Delta}y\to0$, что соответствует вертикальной касательной к графику $ x={\varphi}(y)$ при $ y=y_0$ (если считать, что ось $ 0y$ расположена горизонтально, а ось $ Oy$ -- вертикально).     

Рис.4.7.Графики функций $ y=f(x)$ и $ x={\varphi}(y)$ и касательные к ним при $ f'(x_0)=0$


Полученная формула для производной обратной функции имеет прозрачный геометрический смысл. Заметим, что график как функции $ y=f(x)$, так и обратной функции $ x={\varphi}(y)$ изображается на координатной плоскости $ xOy$ одной и той же линией, состоящей из точек $ (x;y)$, где $ y=f(x)$ или, что то же самое, $ x={\varphi}(y)$. Поэтому, если в точке $ (x_0;y_0)$ график функции $ y=f(x)$ имеет касательную, образующую угол $ {\alpha}$ с осью $ Ox$, то угол той же касательной с осью $ Oy$ будет, очевидно, равен $ \dfrac{\pi}{2}-{\alpha}$. Тогда

$\displaystyle {\varphi}(y_0)=\mathop{\rm tg}\nolimits (\dfrac{\pi}{2}-{\alpha})...
...imits {\alpha}=\dfrac{1}{\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}}=\dfrac{1}{f'(x_0)},$

поскольку для обратной функции $ {\varphi}(y)$ производная даёт тангенс угла наклона касательной по отношению к оси $ Oy$, на которой меняется аргумент функции $ {\varphi}$.

Рис.4.8.Углы, тангенсы которых равны $ f'(x_0)$ и $ {\varphi}'(y_0)$, дополняют друг друга до $ 90^{\circ}$