‹-- Назад

Производные некоторых элементарных функций

    

1. Выше мы уже рассмотрели линейную функцию $ f(x)=kx+b$ и показали, что её производная равна угловому коэффициенту $ k$:

$\displaystyle (kx+b)'=k.$

2. Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2$. Дадим аргументу $ x$ приращение $ h$ и найдём приращение функции: $ {\Delta}f=(x+h)^2-x^2=2xh+h^2$. Поэтому

$\displaystyle (x^2)'=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.$

(Можно доказать эту формулу и так:

$\displaystyle (x^2)'=(x\cdot x)'=x'x+x'x=1\cdot x+1\cdot x=2x.$

Здесь мы применили формулу (4.9).) Точно так же для функции $ f(x)=x^3$ получаем: $ {\Delta}f=(x+h)^3-x^3=3x^2h+3xh^2+h^3$, откуда

$\displaystyle (x^3)'=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}=\lim_{h\to0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2.$

(И здесь, применяя формулу (4.9), мы можем действовать так:

$\displaystyle (x^3)'=(x^2\cdot x)'=(x^2)'x+x'x^2=2x\cdot x+1\cdot x^2=3x^2.)$

Такие же вычисления для функции $ f(x)=x^n$ при целом $ n\geqslant 4$ можно провести, разложив $ (x+h)^n$ по формуле бинома Ньютона (см. гл. 2). При этом получится формула


(Проведите это вычисление самостоятельно в качестве упражнения. Другой способ доказательства этой формулы -- представить $ x^n$ в виде $ x^{n-1}\cdot x$ и применить метод математической индукции, воспользовавшись тем, что при $ n=2$ и 3 формула уже доказана.) При $ n=0$ и $ n=1$ формула (4.12) совпадает, соответственно, с формулами (4.5) и (4.6). Ниже мы докажем, что эта формула верна при любом $ n\in\mathbb{R}$, в том числе при дробных и отрицательных значениях $ n$.

3. Найдём производную функции $ f(x)=\sqrt{x}$ в точке $ x>0$. Преобразуем приращение функции следующим образом:

$\displaystyle {\Delta}f=\sqrt{x+h}-\sqrt{x}=
\dfrac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqr...
...{x}}=
\dfrac{(x+h)-x}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=
\dfrac{h}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}.
$

Поэтому

$\displaystyle (\sqrt{x})'=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}=
\lim_{h\to0}\dfrac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=
\dfrac{1}{2\sqrt{x}},$

поскольку $ \lim\limits_{h\to0}\sqrt{x+h}=\sqrt{x}$ вследствие непрерывности элементарной функции $ f(x)=\sqrt{x}$ в любой точке $ x>0$. Получили в итоге формулу $ (x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$, то есть формулу (4.12) при $ n=\frac{1}{2}$.

4. Пусть $ f(x)=\dfrac{1}{x^m}$, где $ m\in\mathbb{N}$. Производную этой функции можно подсчитать по формуле производной частного (формула (4.10)):

$\displaystyle \left(\dfrac{1}{x^m}\right)'=\dfrac{1'x^m-1\cdot(x^m)'}{(x^m)^2}=
\dfrac{-mx^{m-1}}{(x^m)^2}=-\dfrac{m}{x^{m+1}},$

то есть $ (x^{-m})'=(-m)x^{(-m)-1}$. Эта формула совпадает с формулой (4.12) при отрицательных целых $ n=-m$.

В частности, получаем при $ m=1$

$\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}$

и при $ m=2$

$\displaystyle \left(\dfrac{1}{x^2}\right)'=-\dfrac{2}{x^3}.$

5. Пусть $ f(x)=\sin x$. Тогда приращение функции равно

$\displaystyle {\Delta}f=\sin(x+h)-\sin x=
2\cos\dfrac{(x+h)+x}{2}\sin\dfrac{(x+h)-x}{2}=
2\cos(x+\frac{h}{2})\sin\frac{h}{2},$

а производная --

$\displaystyle (\sin x)'=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}=
\lim_{h\to0}\cos(x+\...
...h}{2})
\lim_{h\to0}\dfrac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=
\cos x\cdot1=\cos x.$

При этом мы воспользовались тем, что $ \lim\limits_{h\to0}\cos(x+\frac{h}{2})=\cos x$, так как $ \cos x$ -- непрерывная функция, и тем, что $ \lim\limits_{h\to0}\dfrac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=1$ (это первый замечательный предел).

6. Пусть $ f(x)=\cos x$. Тогда приращение функции равно

$\displaystyle {\Delta}f=\cos(x+h)-\cos x=
-2\sin\dfrac{(x+h)+x}{2}\sin\dfrac{(x+h)-x}{2}=
-2\sin(x+\frac{h}{2})\sin\frac{h}{2},$

а производная --

$\displaystyle (\cos x)'=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}=
-\lim_{h\to0}\sin(x+...
...{2})
\lim_{h\to0}\dfrac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=
-\sin x\cdot1=-\sin x.$

При этом мы воспользовались непрерывностью синуса, откуда $ \lim\limits_{h\to0}\sin(x+\frac{h}{2})=\sin x,$ и первым замечательным пределом.

7. Рассмотрим функцию $ f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ как отношение $ \dfrac{\sin x}{\cos x}$ и применим для нахождения производной формулу (4.10). Получаем:

$\displaystyle (\mathop{\rm tg}\nolimits x)'=\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)...
...{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=
\dfrac{1}{\cos^2x}=1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x.$

8. Аналогично, для функции $ f(x)=\mathop{\rm ctg}\nolimits x$ получаем

$\displaystyle (\mathop{\rm ctg}\nolimits x)'{=}\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\rig...
...in^2x-\cos^2x}{\sin^2x}=
-\dfrac{1}{\sin^2x}=-1-\mathop{\rm ctg}\nolimits ^2x.$

9. Пусть $ f(x)=\log_ax$ ( $ a>0, a\ne1, x>0$). Тогда приращение функции равно

$\displaystyle {\Delta}f=\log_a(x+h)-\log_ax=\log_a\dfrac{x+h}{x}=
\log_a(1+\frac{h}{x}),$

а разностное отношение --

$\displaystyle \dfrac{{\Delta}f}{h}=\frac{1}{h}\log_a(1+\frac{h}{x})=
\frac{1}{...
...c{x}{h}\log_a(1+\frac{h}{x})=
\frac{1}{x}\log_a(1+\frac{h}{x})^{\dfrac{x}{h}}.$

Теперь вычислим производную:

\begin{multline*}
f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}=
\lim_{h\to0}\frac{1}...
...{1}{x}\log_ae=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\ln a}=\frac{1}{x\ln a}.
\end{multline*}

При вычислении предела мы, во-первых, воспользовались непрерывностью логарифмической функции и переставили знаки предела и логарифма; во-вторых, сделали замену $ {\alpha}=\dfrac{h}{x}$, при этом $ {\alpha}\to0$ при $ h\to0$; в-третьих, был использован второй замечательный предел: $ \lim\limits_{{\alpha}\to0}(1+{\alpha})^{\frac{1}{{\alpha}}}=e$.

Из полученной формулы

$\displaystyle (\log_ax)'=\dfrac{1}{x\ln a}$

при $ a=e$ вытекает, что

$\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.$

        Пример 4.3   Найдём производную функции

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^2\sin\dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\
0,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.
$

При $ x\ne0$ вычислим производную как производную произведения:

$\displaystyle f'(x)=2x\sin\dfrac{1}{x}+x^2\cos\dfrac{1}{x}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=
2x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}.$

При $ x=0$ производную вычислим по формуле, служащей определением производной:

$\displaystyle f'(0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=
\lim_{h\to0}\dfrac{h^2\sin\dfrac{1}{h}}{h}=
\lim_{h\to0}h\sin\dfrac{1}{h}=0,$

поскольку получили предел произведения бесконечно малой величины $ h$ и ограниченной величины $ \sin\dfrac{1}{h}$. Итак, $ f'(0)=0$, однако это значение не является пределом $ f'(x)$ при $ x\to0$, то есть производная $ f'(x)$ имеет при $ x=0$ разрыв второго рода. Действительно, в выражении для $ f'(x)$ при $ x\ne0$ первое слагаемое $ 2x\sin\dfrac{1}{x}$ стремится к 0 при $ x\to0$, однако второе слагаемое $ -\cos\dfrac{1}{x}$ не стремится ни к какому пределу при $ x\to0$, совершая вблизи 0 бесконечно много колебаний.

Рис.4.5.Графики функции $ f(x)$ и её производной $ f'(x)$


Этот пример показывает, что производная, даже если она всюду существует, не обязана быть непрерывной функцией.