‹-- Назад

Свойства производных

Покажем, что множество функций, имеющих производную в некоторой фиксированной точке $ x_0$, замкнуто относительно арифметических операций с этими функциями. А именно, докажем следующую теорему, дающую основные правила дифференцирования.

        Теорема 4.2   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют производные в точке $ x$. Тогда функции $ w_1(x)=f(x)+g(x)$, $ w_2(x)=f(x)-g(x)$, $ w_3(x)=f(x)g(x)$, а в случае $ g(x)\ne0$ также $ w_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ имеют производные в точке $ x$, которые выражаются следующими формулами:


Аналогичные утверждения и формулы имеют место также для односторонних производных $ w_i'(x\pm)$ ($ i=1,2,3,4$).

        Доказательство.     Докажем формулу (4.7). Пусть аргументу $ x$ дано приращение $ h$; при этом функция $ f(x)$ получает приращение $ {\Delta}f=f(x+h)-f(x)$, а функция $ g(x)$ -- приращение $ {\Delta}g=g(x+h)-g(x)$. Их сумма $ w_1(x)$ получит тогда приращение

$\displaystyle {\Delta}w_1=(f(x+h)+g(x+h))-(f(x)+g(x))=(f(x+h)-f(x))+(g(x+h)-g(x))=
{\Delta}f+{\Delta}g.$

Значит,

$\displaystyle w_1'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}w_1}{h}=
\lim_{h\to0}\left(\d...
...m_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}+
\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}g}{h}=f'(x)+g'(x).
$

Совершенно аналогично доказывается формула (4.8).

Докажем теперь формулу (4.9). Пусть снова $ {\Delta}f$ и $ {\Delta}g$ -- приращения функций, соответствующие приращению $ {\Delta}x=h$ аргумента $ x$. Тогда $ f(x+h)=f(x)+{\Delta}f$, $ g(x+h)=g(x)+{\Delta}g$ и приращением произведения будет

\begin{multline*}
{\Delta}w_3=f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)=(f(x)+{\Delta}f)(g(x)+{\Del...
...-f(x)g(x)=\\
=g(x){\Delta}f+f(x){\Delta}g+{\Delta}f{\Delta}g.
\end{multline*}

Поэтому, по свойствам пределов,

\begin{multline*}
w_3'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}w_3}{h}=
\lim_{h\to0}\lef...
...\
=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)+0\cdot f'(x)g'(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x).
\end{multline*}

При этом мы вынесли множители $ g(x)$ и $ f(x)$ за знак предела $ \lim\limits_{h\to0}$ как постоянные, не зависящие от переменного $ h$, к которому относится база предела.

Докажем теперь формулу (4.10). Заметим, что

$\displaystyle {\Delta}w_4=\dfrac{f(x)+{\Delta}f}{g(x)+{\Delta}g}-\dfrac{f(x)}{g...
...)(g(x)+{\Delta}g)}=
\dfrac{g(x){\Delta}f-f(x){\Delta}g}{g(x)(g(x)+{\Delta}g)}.$

Поэтому, согласно правилам вычисления пределов,

\begin{multline*}
w_4'=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}w_4}{h}=
\lim_{h\to0}\dfrac{...
...}(g(x)f'(x)-f(x)g'(x))=
\dfrac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}.
\end{multline*}

При этом мы вынесли за знак предела постоянный (то есть не зависящий от $ h$) множитель $ \dfrac{1}{g(x)}$ и воспользовались тем, что $ {\Delta}g\to0$ при $ h\to0$, что означает непрерывность функции $ g(x)$ в точке $ x$. Но ранее мы доказали, что всякая дифференцируемая в точке $ x$ функция непрерывна в точке $ x$ ( теорема 4.1).     

        Замечание 4.5   Обозначим функцию $ f(x)$ через $ u$, а функцию $ g(x)$ через $ v$. Тогда формулы (4.7 - 4.10) можно более коротко записать в виде

$\displaystyle (u\pm v)'=u'\pm v';\quad (uv)'=u'v+v'u; \quad
\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$ (при $\displaystyle v\ne0).
$

Именно в таком кратком виде мы и рекомендуем запоминать эти формулы.     

        Следствие 4.1   Применяя формулу (4.9) к случаю, когда $ g(x)=k=\mathrm{const}$, и учитывая, что $ k'=0$ (см. формулу (4.5)), мы получаем, что

$\displaystyle (kf(x))'=kf'(x),$

то есть что постоянный множитель можно выносить из под знака производной.     

Из этого следствия и формулы (4.7) получается следующее свойство производных: если $ C_1$ и $ C_2$ -- постоянные и $ f_1,f_2$ -- дифференцируемые в точке $ x_0$ функции, то


Если операцию вычисления производной в точке $ x_0$ обозначить $ D_{x_0}$, то есть $ {D_{x_0}(f(x))=f'(x_0)}$, то равенство (4.11) означает линейность этой операции дифференцирования в точке:

$\displaystyle D_{x_0}(C_1f_1(x)+C_2f_2(x))=C_1D_{x_0}(f_1(x))+C_2D_{x_0}(f_2(x)).$

Поскольку дифференцируемость функции на интервале или отрезке мы определяли как дифференцируемость в каждой точке этого интервала или отрезка, то тем самым мы показали, что операция $ D$ перехода от функции $ f$ к её производной $ f'$, $ D(f)=f'$, также обладает свойством линейности:

$\displaystyle D(C_1f_1+C_2f_2)=C_1D(f_1)+C_2D(f_2).$

При этом в случае отрезка действие $ D$ на функцию в точке, являющейся одним из концов отрезка, понимается как вычисление соответствующей односторонней производной: в левом конце -- правой, а в правом конце -- левой.

Эти результаты можно выразить ещё и таким образом. Рассмотрим пространство $ \mathcal{D}_{x_0}$ всех функций $ f$, определённых на некотором фиксированном интервале $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$ и имеющих производную $ f'(x_0)$ в точке $ x_0$. Тогда операции умножения на постоянные множители и сложения не выводят из этого пространства, то есть пространство $ \mathcal{D}_{x_0}$ -- это линейное пространство; при этом операция $ D_{x_0}$ -- это линейная операция из пространства $ \mathcal{D}_{x_0}$ в линейное пространство вещественных чисел:

$\displaystyle D_{x_0}:\mathcal{D}_{x_0}\to\mathbb{R};\quad D_{x_0}:f(x)\mapsto f'(x_0).$

То же верно и для пространств функций, дифференцируемых на интервале $ (a;b)$ (обозначим это пространство $ \mathcal{D}_{(a;b)}$) или на отрезке $ [a;b]$ (обозначим это пространство $ \mathcal{D}_{[a;b]}$). Оба этих пространства -- линейные (то есть замкнуты относительно применения к функциям из этих пространств операций сложения и умножения на постоянные), а операция дифференцирования $ D$ действует как линейная операция из этих линейных пространств в линейное пространство функций, непрерывных на данном интервале (обозначим это пространство $ \mathcal{C}_{(a;b)}$; см. предложение 3.4) или отрезке (обозначим это пространство $ \mathcal{C}_{[a;b]}$; также см. предложение 3.4), так как в соответствии с теоремой 4.1 производная каждой дифференцируемой функции $ f(x)$ -- это непрерывная функция $ f'(x)=D(f(x))$:

$\displaystyle D:\mathcal{D}_{(a;b)}\to\mathcal{C}_{(a;b)};\quad D:f(x)\mapsto f'(x);$

$\displaystyle D:\mathcal{D}_{[a;b]}\to\mathcal{C}_{[a;b]};\quad D:f(x)\mapsto f'(x).$

Тем самым операция $ D$ -- это линейная функция, областью определения которой служит пространство всех дифференцируемых функций, а область значений $ \mathcal{E}(D)$ лежит в пространстве непрерывных функций.14 Функции, областями определения и областями значения которых служат некоторые пространства функций, в математике принято называть операторами. Таким образом, операция дифференцирования $ D$ -- это линейный оператор из линейного пространства $ \mathcal{D}_{(a;b)}$ в линейное пространство $ \mathcal{C}_{(a;b)}$ и из линейного пространства $ \mathcal{D}_{[a;b]}$ в линейное пространство $ \mathcal{C}_{[a;b]}$.