‹-- Назад

Производная

Итак, согласно предыдущим двум определениям, производная $ f'(x_0)$ функции $ f(x)$ в точке $ x_0$, правая производная $ f'_+(x_0)$ и левая производная $ f'_-(x_0)$ задаются, соответственно, формулами
\begin{subequations}\begin{gather}
 f'(x_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{...
..._-(x_0)=\lim_{h\to0-}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},
 \end{gather}\end{subequations}

при этом в формуле (4.3a) функция должна быть определена на некотором интервале $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$, в формуле (4.3b) -- на некотором полуинтервале $ [x_0;x_0+{\delta})$, а в формуле (4.3c) -- на некотором полуинтервале $ (x_0-{\delta};x_0]$.

Функция, имеющая в точке $ x_0$ производную (соотв. левую производную, правую производную), называется дифференцируемой (соотв. дифференцируемой слева, дифференцируемой справа) в точке $ x_0$. Функция, дифференцируемая во всех точках некоторого интервала $ (a;b)$, называется дифференцируемой на интервале $ (a;b)$. Пусть теперь $ [a;b]$ -- замкнутый отрезок. Функция, дифференцируемая во всех точках интервала $ (a;b)$, дифференцируемая справа в точке $ a$ и дифференцируемая слева в точке $ b$, называется дифференцируемой на отрезке $ [a;b]$.

Вычислим производную данной функции $ f(x)$ в различных точках $ x$ некоторого интервала $ (a;b)$ и предположим, что производная $ f'(x)$ существует при всех $ x\in(a;b)$. Тогда мы можем задать соответствие между точками $ x$ интервала и числами $ f'(x)$ и получаем функцию $ f': (a;b)\to\mathbb{R}; f':x\mapsto f'(x)$. Эта функция $ f'$ называется производной от функции $ f$ (или первой производной от $ f$).

С математической точки зрения, разница между формулами (4.3 a-c) невелика: согласно теореме о связи двустороннего предела с односторонними, если существует производная $ f'(x_0)$, то существуют обе односторонние производные (правая $ f'_+(x_0)$ и левая $ f'_-(x_0)$), и $ f'(x_0)=f'_+(x_0)=f'_-(x_0)$. Обратно, если существуют и равны друг другу односторонние производные, $ f'_+(x_0)=f'_-(x_0)$, то существует и производная $ f'(x_0)$, совпадающая с их общим значением.

В предположении, что производная $ f'(x_0)$ существует, мы можем теперь сказать, что число $ f'(x_0)$ задаёт мгновенную скорость изменения координаты $ y=f(x)$ при $ x=x_0$; с геометрической точки зрения, эта скорость равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику $ y=f(x)$ при $ x=x_0$: чем быстрее растут (или убывают) значения функции, тем круче наклонён график к оси $ Ox$ (составляя, соответственно, положительный или отрицательный угол с осью $ Ox$).

Рис.4.3.Скорость роста значений функции соответствует величине тангенса угла наклона касательной


        Замечание 4.1   В числителе дроби, предельное значение которой даёт производную, стоит выражение $ {\Delta}y=y_1-y_0=f(x_1)-f(x_0)=f(x_0+h)-f(x_0)$. Оно называется приращением функции. В знаменателе стоит величина $ {\Delta}x=x_1-x_0=h$. Она называется приращением аргумента. Величина $ \dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}$ называется разностным отношением12. Условие $ h\to0$ можно, очевидно, записать в виде $ {\Delta}x\to0$ (кстати, база $ h\to0$ эквивалентна базе $ x_1\to x_0$). Тем самым определение производной можно записать в таком виде:

$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0}\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}.$

От такой записи происходит обозначение производной в виде $ \dfrac{dy}{dx}(x_0)$.     

        Пример 4.1   Рассмотрим линейную функцию $ y=f(x)=kx+b$. Тогда $ {{\Delta}y=(k(x_0+h)+b)-(kx_0+b)=kh=k{\Delta}x}$, $ \dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}=\dfrac{k{\Delta}x}{{\Delta}x}=k$ и $ f'(x_0)=\lim\limits_{{\Delta}x\to0}k=k$ при любом $ x_0$. Получаем, что для линейной функции производная в любой точке равна угловому коэффициенту $ k$. (Что неудивительно: ведь касательная к прямой, служащей графиком линейной функции, -- это та же самая прямая, а угловой коэффициент касательной равен производной!) В частности, при $ k=0$ получаем, что производная любой постоянной, то есть функции $ y=b=\mathrm{const}$, равна 0:


а при $ k=1$ и $ b=0$ получаем, что


    

        Пример 4.2   Пусть $ f(x)=\vert x\vert$ и $ x_0=0$. Вычислим односторонние производные $ f'_+(0)$ и $ f'_-(0)$.

При $ h>0$ имеем $ x_0+h=h>0$ и $ f(x_0+h)=f(h)=\vert h\vert=h$. Значит, разностное отношение равно $ \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\dfrac{h-0}{h}=1$ и $ f'_+(0)=\lim\limits_{h\to0}1=1.$

При $ h<0$ имеем $ x_0+h=h<0$ и $ f(x_0+h)=f(h)=\vert h\vert=-h$. Значит, разностное отношение равно $ \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\dfrac{-h-0}{h}=-1$ и $ f'_+(0)=\lim\limits_{h\to0}(-1)=-1.$

Графически это означает следующее. Мы строим касательную к графику

$\displaystyle y=\vert x\vert=\left\{\begin{array}{ll}
-x,&\mbox{ при }x<0;\\
x,&\mbox{ при }x\geqslant 0,
\end{array}\right.$

в точке $ M_0=O$, сначала пользуясь секущими $ M_0M_1$ с точкой $ M_1$ правее $ M_0$. Эта касательная, как и все такие секущие, совпадают между собой и имеют уравнение $ {y=x}$, задающее прямую, наклонённую под углом $ \frac{\pi}{4}$ к оси $ Ox$ ( $ \mathop{\rm tg}\nolimits \frac{\pi}{4}=1=f'_+(0)$). Далее, мы строим касательную, пользуясь секущими $ M_0M_2$ с точкой $ M_2$ левее $ M_0$. Все такие секущие и касательная, по ним построенная, совпадают между собой и имеют уравнение $ {y=-x}$, задающее прямую, наклонённую под углом $ -\frac{\pi}{4}$ к оси $ Ox$ ( $ \mathop{\rm tg}\nolimits (-\frac{\pi}{4})=-1=f'_-(0)$).

Рис.4.4.График $ y=\vert x\vert$ имеет излом при $ x=0$


Таким образом, неравенство левой и правой производной выражает тот геометрический факт, что линия $ y=\vert x\vert$ имеет при $ x=0$ излом под углом $ \frac{\pi}{2}$ и не имеет общей касательной сразу к двум сторонам этого угла.     

Покажем теперь, что дифференцируемая функция не может быть разрывной.

        Теорема 4.1   Пусть функция $ f(x)$ дифференцируема (дифференцируема слева, дифференцируема справа) в точке $ x_0$. Тогда $ f(x)$ непрерывна (соотв. непрерывна слева, непрерывна справа) в этой точке $ x_0$.

        Доказательство.     Из существования производной

$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=
\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

следует, что

\begin{multline*}
\lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0))=
\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x...
...ac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\lim_{x\to x_0}(x-x_0)=
f'(x_0)\cdot0=0,
\end{multline*}

откуда

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0),$

что и означает непрерывность функции $ f(x)$ в точке $ x_0$.

Для доказательства теоремы в случае существования односторонних производных достаточно сменить базу $ x\to x_0$ на базу $ x\to x_0-$ или $ x\to x_0+$.     

        Замечание 4.2   Предыдущий пример показывает, что обратное утверждение неверно: функция не обязательно имеет производную во всех тех точках, где она непрерывна. Действительно, функция $ f(x)=\vert x\vert$ непрерывна при $ x=0$, но не имеет производной в точке 0.

Более того, можно построить пример такой функции, которая непрерывна во всех точках числовой прямой, но не имеет производной ни в одной из этих точек. Два таких примера (функции Вейерштрасса и Ван дер Вардена) приведены в весьма любопытной и полезной для понимания математики книге [Гелбаум Б., Олмстед Дж., Контрпримеры в анализе. -- М.: Мир, 1967. -- С. 52 - 53]. Построение функции Вейерштрасса приведено также в учебнике [Калугина Т.Ф., Киселёв В.Ю., Математический анализ. -- Иваново, изд. ИГАСА, 1997. -- С. 99 -101]. (Функция Вейерштрасса обладает ещё следующим замечательным свойством: она не монотонна ни на каком, как угодно коротком, интервале.) Построение непрерывных, но нигде не дифференцируемых функций -- довольно сложная процедура.     

        Замечание 4.3   Заметим, что доказанная теорема гарантирует непрерывность функции, имеющей производную в точке $ x_0$, только в этой самой точке $ x_0$, но не на некотором интервале, окружающем $ x_0$. Примером функции, имеющей производную при $ x=0$, но разрывной при всех $ x\ne0$, служит функция

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0,&\mbox{ если }x\in\mathbb{Q},\\
x^2,&\mbox{ если }x\notin\mathbb{Q}.
\end{array}\right.
$

(Напомним, что через $ \mathbb{Q}$ обозначается множество всех рациональных чисел. Рациональные числа, как и иррациональные, плотно расположены на числовой оси $ \mathbb{R}$: между любыми двумя рациональными числами найдётся иррациональное число, а между двумя иррациональными -- рациональное.) Действительно, $ f(0)=0$; если $ h\ne0$ -- рациональное число, то разностное отношение $ \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{0-0}{h}=0$, а если $ h\ne0$ -- иррациональное, то $ \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{h^2-0}{h}=h$. И в том, и в другом случае разностное отношение стремится к 0 при $ h\to0$, так что существует производная $ f'(0)=0$. Однако, как нетрудно заметить, функция $ f(x)$ разрывна во всех точках $ x$, кроме $ x=0$.     

        Замечание 4.4   Заметим также, что даже если функция имеет производную на некотором интервале, окружающем точку $ x_0$, значение $ f'(x_0)$ может оказаться не равным пределу значений $ f'(x)$ при $ x\to x_0$, то есть производная $ f'$ может оказаться разрывной функцией.13 Примером такой функции с всюду существующей, но разрывной производной $ f'(x)$ может служить функция

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0,&\mbox{ если }x=0,\\
x^2\sin\dfrac{1}{x},&\mbox{ если }x\ne0.
\end{array}\right.
$

Производная этой функции, как мы покажем ниже, равна

$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0,&\mbox{ если }x=0,\\
2x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x},&\mbox{ если }x\ne0.
\end{array}\right.
$

Нетрудно видеть, что эта функция имеет разрыв второго рода в точке 0, из-за слагаемого $ \cos\dfrac{1}{x}$, совершающего бесконечное число колебаний амплитуды 1 в любой, как угодно малой, окрестности точки 0.